其他代換

還有一些其他的代換技巧, 不易歸類. 以下是一些例子.

例 33   求 $$\int\frac{dx}{a+be^{rx}}$$, 式中 a, b, r 均 $\neq 0$

解. 設 u=e^rx, 即 $x=(\ln u)/r$, 則 dx/du=1/(ru). 於是

$$\begin{eqnarray*}{\int \frac{dx}{a+be^{rx}}} &=& \int \frac{1}{a+bu} \cdot \frac... ...+ C = \frac{x}{a} - \frac{1}{ar} \ln{\vert a+be^{rx} \vert} + C. \end{eqnarray*}$$

例 34   求 $$\int \frac{\sqrt[3]{1+x} -1}{\sqrt[3]{1+x} - \sqrt{1+x}}\,dx$$.

解. 設 1+x=t⁶, 則 dx/dt=6t⁵.

$$\begin{eqnarray*}{\textup{原式}} &=& \int \frac{t^2 -1}{t^2 -t^3} 6t^5 \,dt=-6\i... ... t^4 )+C=- \frac{6}{5} (1+x)^{5/6} - \frac{3}{2} (1+x)^{2/3} +C. \end{eqnarray*}$$

例 35   求 $$\int_{0}^1 \frac{e^{2x}}{\sqrt[3]{1+e^x}}\,dx$$.

解. 設 e^x=t, 即 $x=\ln t$, 則 dx/dt=1/t. 於是

$$\begin{eqnarray*}{\int_{0}^1 \frac{e^{2x}}{\sqrt[3]{1+e^x}}\,dx} &=& \int_1^{e} ... .../3} \cdot (\frac{3}{5} e-\frac{9}{10}) +\frac{3}{10} \sqrt[3]{4} \end{eqnarray*}$$

例 36   求 $$\int \frac{\sqrt{x-a}}{1+\sqrt{x-a+1}}\,dx$$.

解. 設 $\sqrt{x-a} = t$. 則 $t\geq {0}$, x-a=t², dx/dt=2t.

$$\textup{原式} = \int \frac{2t^2}{1+\sqrt{1+t^2}}\,dt=2\int \frac{t^2 +1-1}{\sqrt{1+t^2}+1}\,dt=2\int (\sqrt{1+t^2} -1)\,dt.$$

而

$$\begin{eqnarray*}\int \sqrt{1+t^2}\,dt &=& t\sqrt{1+t^2} -\int \frac{t^2\,dt}{\s... ...qrt{1+t^2} -\int \sqrt{1+t^2}\,dt +\int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}. \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*}{\int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}} &=& \int \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} ... ...rt{1+t^2}}{t+\sqrt{1+t^2}}\,dt \\ &=& \ln (t+\sqrt{1+t^2} )+C. \end{eqnarray*}$$

代入整理後得

$$\int \frac{\sqrt{x-a} }{1+\sqrt{x-a+1} } \,dx = \sqrt{(x-a)(x-a+1)}$$

$$+ \ln (\sqrt{x-a} +\sqrt{x-a+1}) -2\sqrt{x-a} +C.$$

習題

計算下列各積分

1. $$\int \frac{x\cos{x}}{\sin^2 {x}}\,dx$$,    
2. $$\int_0^1 \frac{\arctan {x}}{1+x^2}\,dx$$,    
3. $$\int x\sqrt{1+x}\,dx$$,
4. $$\int \sin ^2 x \cos ^5 x \,dx$$,    
5. $$\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2+2x+5}}$$,    
6. $$\int \frac{dx}{\sin x } \,dx$$,
7. $$\int_0^1 x^2 \sqrt{1-x^2} \,dx$$,    
8. $$\int e^{ax} \cosh x \,dx$$,    
9. $$\int \frac{dx}{(x-1)^2 (x^2 +1)}$$,
10. $$\int_{0}^{\pi /2} \frac{dx}{3+\cos x }$$,    
11. $$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2n} -1}}$$,    
12. $$\int \frac{1}{\sqrt{x-a} +\sqrt{x-b}}\,dx$$,
13. $$\int \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$$,    
14. $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-2x}}$$,    
15. $$\int \frac{dx}{x(x+1)\cdots (x+n)}$$,
16. $$\int \frac{x+1}{\sqrt{2+2x-3x^2}}\,dx$$,    
17. $$\int_{-\pi /2}^{\pi /2} \ln (1+x^2) \sin (x^3)\,dx$$,
18. $$\int \frac{\sqrt{1+x} -\sqrt{1-x} }{\sqrt{1+x} +\sqrt{1-x} }\,dx$$,    
19. $$\int \frac{dx}{\sqrt{x} +\sqrt{1-x}}$$,
20. $$\int x\sqrt{x^2+4x}\,dx$$.