不定積分與定積分

在高三上學期的理科數學課本中, 積分的討論分不定積分和定積分兩種. 不定積分 (indefinite integral) 也就是反導函數 (antiderivative), 即若 F'(x)=f(x), 便有

$$\int f(x)\, dx =F(x)+C,$$

式中 C 為任意常數. 每有一個微分公式便有一個對應的積分公式. 例如:

例 1   設 n 為不等於 -1 的整數. 則

$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C.$$

至於 n=-1 時則有

例 2   $$\int \frac{dx}{x} = \ln \vert x\vert +C.$$

注意在本例題中的絕對值不可忽略.

有時不定積分不易計算, 必須稍加變化, 有時積分的計算須分款討論. 以下是一個這種例子:

例 3   計算 $$I= \int \cos ax \cos bx \, dx.$$

解. 若 a=b=0, 則

$$I= \int \, dx =x+C.$$

若 $a=\pm b \neq 0$, 則

$$I= \int \cos^{2} ax \, dx = \frac{1}{2} \int (1+ \cos 2ax) \, dx = \frac{x}{2}+ \frac{1}{4a} \sin 2ax +C.$$

若 $a \neq \pm b$, 則由積化和差的公式得

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int \cos ax \cos bx = \frac{1}{2} \int \cos (a+b)x + ... ... &=&\frac{\sin (a+b)x}{2(a+b)} + \frac{\sin (a-b)x}{2(a-b)} +C. \end{eqnarray*}$$

至於定積分, 理科數學課本中曾敘述過微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus), 但沒有給證明. 這定理的敘述如下:

定理. 設 f(x) 是 [a, b] 上的連續函數. 若 F(x) 是 f 的一個即 F'(x)=f(x),則

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b)-F(a).$$

此定理讀者請參考本節末習題的提示自行證明. 在下編中我們還要介紹一個內容更充實的微積分基本定理.

有了本定理, 若知道一函數的不定積分, 便可立即求得定積分. 以下舉兩個例子:

例 4   $$\int_{0}^{\sqrt{3}\, /2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = \arcsin x \... ...{0}^{\sqrt{3}\, /2} = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{3}.$$

例 5   $$\int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{2}} = \arctan x \vert _{0}^{1} = \frac{\pi}{4}$$

由微積分的基本定理, 只要知道 F 就可計算 F' 的積分, 知道的函數對 (F, F') 越多, 會算的積分也跟著增加, 常見的``積分表''就是收集許多函數對 (F, F') 加以整理而成的. 此外在很多電腦系統上有符號計算的程式, 知名的有 MACSYMA, Mathematica, Derive, Maple V 等都可幫助計算不定積分. 這些現成的工具固然很好, 但是一些基本方法卻是更重要的. 有了這些方法, 纔可以直接用紙筆計算積分; 沒有這些方法, 連上述的各項程式都無從設計起. 這些方法包含有: 部分積分、代換、部分分式等, 以下我們將分別介紹.

習$\quad$題

1.

計算下列不定積分:(a) $$\int \cos ax \sin bx \, dx$$,     (b) $$\int \sin ax \sin bx \, dx$$.

2.

利用積分學的均值定理, 證明: 設 g 在 [a, b] 中連續, 令

$$G(x)= \int_{a}^{x} \, g(t)\, dt,\quad a \leq x \leq b.$$

則 G 可微, 且 $G'(x)=g(x) \, \forall x \in [a, b]$.

3.

利用上題及 Lagrange 的均值定理, 證明上文所敘述的微積分基本定理.