部分積分 (Integration by parts)

部分積分是計算積分的一個重要方法, 其根源是微分學的 product rule: 設函數 f, g 都有連續的導函數. 則 f(x)g(x) 亦可微, 且

$$\frac{d}{dx} [f(x)g(x)] = f'(x)g(x)+f(x)g'(x).$$

由假設條件知 f'(x)g(x) 及 f(x)g'(x) 皆為連續函數, 所以 f(x)g(x) 和

$$\int f'(x)g(x) \,dx + \int f(x)g'(x) \,dx$$

至多相差一常數. 於是

$$\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx.$$

這就是不定積分的部分積分公式. 因為右邊有一項也是不定積分, 其中暗藏著一個積分常數, 所以在右邊不必再寫積分常數. 若用 u 表 f(x), v 表 g(x), 我們也可以把這公式寫成以下便於記憶的形式:

$$\int u dv =u v - \int v \,du.$$

和這公式相當的定積分的部分積分公式如下:

$$\int_{a}^{b} f(x)g'(x)\,dx = \left.\vphantom{\int} [f(x)g(x)]\right\vert _a^b - \int_{a}^{b} f'(x)g(x)\,dx.$$

式中

$$\left. \vphantom{\int}[f(x)g(x)]\right\vert _a^b = f(b)g(b) - f(a)g(a).$$

例 6   設 0 < a < b. 則

$$\begin{eqnarray*}{\int_{a}^{b} x \ln x \,dx} &=& \int_{a}^{b} (\ln x) \left( \fr... ...2}}{2} \ln b - \frac{a^{2}}{2} \ln a + \frac{a^{2} - b^{2}}{4}. \end{eqnarray*}$$

例 7   $$\int \ln x \,dx = \int (\ln x)(x)'\,dx =x \ln x - \int \,dx = x \ln x - x +C$$.

例 8   $$\int_{1}^{2} x^{2}e^{x} \,dx = \left.\vphantom{\int}(x^{2}e^{x})\right\vert _1^2 - \int_{1}^{2} 2xe^{x} \,dx$$ $$=\left.\vphantom{\int}4e^{2} -e -(2xe^{x})\right\vert _1^2 + 2 \int_{1}^{2} e^{x}\,dx = 2e^{2}-e.$$

例 9   $$\int e^{u} \cos u\,du= e^{u} \cos u+ \int e^{u} \sin u\,du$$ $$= e^{u} \cos u + e^{u} \sin u - \int e^{u} \cos u\,du.$$
把右邊第三項移到左邊, 用 2 除, 便得

$$\int e^{u} \cos u\,du = \frac{1}{2} e^{u} (\cos u + \sin u) + C.$$

因為原式兩個不定積分可能相差一個常數, 所以右邊遺留了一個積分常數 C.

例 10   $$\int \arcsin{x}\,dx =$$ $$x \arcsin{x} - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \,dx = x \arcsin{x} + \sqrt{1-x^{2}} + C$$.

例 11   $$\int \frac{dx}{{(1+x^{2})}^{2}} = \int \frac{1+x^{2}-x^{2}}{{(1+x^{2})}^{2}} \,dx$$ $$= \int \frac{dx}{1+x^{2}}-\int \frac{(x/2) \cdot 2x}{({1+x^{2})}^{... ... x + \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{1+x^{2}} - \frac{1}{2} \int \frac{dx}{1+x^{2}}$$ $$= \frac{1}{2} \arctan x + \frac{1}{2} \frac{x}{1+x^{2}} + C.$$

例 12   $$\int \sin^{3} xdx = \int \sin^{2} x(- \cos x)'\,dx$$

$$\begin{eqnarray*}&=& -\sin^{2} x \cos x + \int 2\sin x\cos^{2}x\,dx\\ &=& -\sin... ...dx\\ &=& -\sin^{2} x \cos x - 2 \cos x - 2 \int \sin^{3} x\,dx. \end{eqnarray*}$$

故

$$\int \sin^{3} x\,dx = - \frac{1}{3} \sin^{2} x\cos x -\frac{2}{3} \cos x + C.$$

習$\quad$題

1.

計算下列各積分: (a) $$\int \cos^7 x\sin x \, dx$$,     (b) $$\int e^x \sin x\, dx$$,     (c) $$\int_1^2 x^3 \ln x\, dx$$,(d) $$\int_1^2 \tan^{-1} x\, dx$$,     (e) $$\int \cos^{-1} x\, dx$$,     (f) $$\int x^2 \cos x\, dx$$.