代換

設函數 u 在 [a, b] 上具有一階的連續導函數, 若 f 是個連續函數, 且 f 的定義域包含 u 的值域, 令 F 為 f 的反導函數, 則施用微分學的連鎖律於 F(u(x)) 得

$$\frac{d}{dx}F(u(x)) = F'(u(x))u'(x) = f(u(x))u'(x).$$

從而有

$$\int f(u(x))u'(x)\, dx = F(u(x)) + C = \int f(u)\, du, \quad u=u(x).$$

這就是不定積分的代換公式. 相當的定積分的代換公式則為

$$\int_a^b f(u(x))u'(x)\, dx = \int_{u(a)}^{u(b)}f(u)\, du.$$

先舉幾個直接代換的簡單例子:

例 13   $$\int \sin^3 x \cos x \, dx.$$

解. 設 $u(x)=\sin x$, 則 $u'(x)=\cos x$.

$$\textup{原式} = \int {(u(x))}^3 \cdot u'(x)\, dx = \int u^3\, du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C.$$

例 14   求 $$\int x \sqrt{a^2 + x^2}\, dx.$$

解. 設 u(x) = a² + x², 則 u'(x) = 2x.

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\textup{原式} = \frac{1}{2} \int u(x)^{1/2} \cdot u'(x... ...frac{2}{3} \cdot u^{3/2} + C = \frac{1}{3}(a^2 + x^2)^{3/2} + C. \end{eqnarray*}$$

例 15   $$\int \frac{dx}{x(\ln x)^2}.$$

解. 令 $u = \ln x$. 則原式 = $-1/u + C = -\frac{1}{\ln x} + C.$

例 16   求 $$\int \tan x\, dx.$$

解. 設 $u(x) = \cos x$, 則

$$\begin{eqnarray*}\int \tan x\, dx &=& \int \frac{\sin x}{\cos x}\, dx = - \int \... ...t \frac{du}{u} = -\ln\vert u\vert + C = \ln\vert\sec x\vert + C. \end{eqnarray*}$$

再舉一些引入新變數的例子.

例 17   求 $$\int_0^1 \frac{du}{(1+u^2)^2}.$$

解. 設 $u = \tan x$, $0\leq x\leq\pi/2$, 則 $du/dx = \sec^2 x$. 乃有

$$\begin{eqnarray*}{\int_0^1 \frac{du}{(1+u^2)^2}} &=& \int_{\arctan0}^{\arctan1} ... ...4})\vert _0^{\frac{\pi}{4}} \\ &=& \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}. \end{eqnarray*}$$

讀者請將本題與上節的例 11 比較.

例 18   求 $$\int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{1+x}}.$$

解. 設 $\sqrt{1+x} = y$, 即 x = y²-1, 則 dx/dy = 2y. 於是

$$\begin{eqnarray*}{\int \frac{dx}{x \sqrt{1+x}}} &=& \int \frac{2y}{(y^2-1) \cdot... ...\vert + C = \ln \vert\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1}\vert + C. \end{eqnarray*}$$

故

$$\int_1^2 \frac{dx}{x\sqrt{1+x}} = \ln \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} - \ln \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}.$$

在上面的計算過程中, 我們利用到一個技巧

$$\frac{2}{y^2-1} = \frac{1}{y-1} - \frac {1}{y+1}.$$

這便是下一節部分分式的濫觴.

例 19   求 $$\displaystyle\int \sec{x} dx.$$

本題的正規解法見第五節, 現在介紹一個偷巧的解法:

$$\int \sec{x} dx=\int \limits \frac{\sec x (\sec x + \tan x )}{\sec x + \tan x} dx.$$

令 $u=\sec x + \tan x$. 則

$$du=(\sec x \tan x + \sec^2 x)dx=\sec x(\sec x + \tan x)dx.$$

$$\int \sec{x} dx=\int \frac{du}{u}=\ln \bigl\vert{u}\bigr\vert+C =\ln \bigl\vert \sec x+\tan x\bigr\vert+C.$$

我們所以說這是個偷巧的解法, 原因是變數 u 的設定, 有賴於先知道了答案; 在不先知道答案的情況下, 誰會有這麼大的本領這樣代換呢?

習$\quad$題

1.

計算下列各積分:(a) $$\int \frac{dx}{x(\ln x)^3}$$,     (b) $$\int_{-1}^{1} x\sqrt{1-x^2}\,dx$$,     (c) $$\int \cot x \,dx.$$(d) $$\int_{0}^{1} \frac{e^x}{1+e^{2x}} \,dx$$,     (e) $$\int \sin(\ln x)\,dx$$.

2.

決定下列各積分何者收斂, 何者發散, 並求出收斂者之值:(a) $$\int_{0}^{1} \ln x \,dx$$,     (b) $$\int_{0}^{\pi/2} \tan x \,dx$$,     (c) $$\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{1-\cos x} \,dx,$$(d) $$\int_{-\infty}^{\infty} \cos^2 x \,dx$$,     (e) $$\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x \ln x}$$,     (f) $$\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x{(\ln x)}^2}$$.

3.

Show that

$$\int_{1}^{x} \frac{dt}{\sqrt {t(1+t^2)}} +\int_{1}^{1/x} \frac{dt}{\sqrt {t(1+t^2)}}=0$$

for all positive x.

4.

設 n 為正整數. 試用數學歸納法證明

$$\int_{0}^{\infty} x^n{e^{-x}}\,dx=n!.$$