部分分式的理論基礎

設 P(x) 和 Q(x) 都是實係數的多項式, 則 R(x)=P(x)/Q(x) 稱為有理函數 (rational function). 有理函數的積分可先化成部分分式再來處理. 我們把部分分式的重要理論敘述成下面四個定理, 證明則放在附錄.

定理 1. 設 Q 是一實係數多項式, 則 Q 可分解成一些實係數的一次式及不可約二次式的乘積.

定理 2. 設 R(x)=P(x)/Q(x) 是一實係數的真有理式. 設 Q 分解成

$$Q(x)=(x-a_1)^{s_1} \cdots (x-a_j)^{s_j}(x^2+b_1{x}+c_1)^{t_1} \cdots (x^2+b_k{x}+c_k)^{t_k},$$

式中 $x-a_1,\cdots ,x-a_j$ 和 $x^2+b_1x+c_1,\cdots ,x^2+b_kx+c_k$ 都具實係數, 且兩兩互質, 則必可找到實係數多項式 $A_1(x),\cdots ,A_j(x), B_1(x),\cdots ,B_k(x)$ 使得

$$\begin{array}{l} \displaystyle R(x) = \frac{A_1(x)}{(x-a_1)^{... ...dots +\frac{B_k(x)}{(x^2+b_kx+c_k)^{t_k}}, \end{array}\eqno(1)$$

而且右邊每項都是真有理式.

定理 3. 設 $$A(x)\over (x-a)^s$$ 是一實係數真有理式, 則必有實數 $c_1, c_2,\cdots, c_s$ 使得

$$\frac{A(x)}{(x-a)^s}=\frac{c_1}{x-a}+\frac{c_2}{(x-a)^2} + \cdots +\frac{c_s}{(x-a)^s}.\eqno(2)$$

定理 4. 設 $$B(x)\over (x^2+bx+c)^t$$ 是一實係數真有理式, 則必有實數 $c_1, d_1, c_2, d_2,\cdots, c_t, d_t$ 使得

$$\frac{B(x)}{(x^2+bx+c)^t}=\frac{c_1x+d_1}{x^2+bx+c} +\frac{c_... ...{(x^2+bx+c)^2}+ \cdots +\frac{c_tx+d_t}{(x^2+bx+c)^t}\eqno(3).$$

假若對 (1) 式右邊每項分別引用定理 3 或定理 4, 則 P(x)/Q(x) 分解成一些如 (2)、(3) 式中右邊型態的分式的和, 這過程通常稱為把 P(x)/Q(x) 化成部分分式 (partial fractions).

如何將有理函數實際地化成部分分式? 我們在後面的例子裡示範一些技巧.