有理函數的積分

設 P(x) 和 Q(x) 為二具實係數的多項式, R(x)=P(x)/Q(x). 利用長除法可把 R(x) 寫成一多項式及一真有理函數的和. 多項式的積分以前說明過了. 真有理式化成部分分式後, 其積分不出下列四種型態.

$$\begin{array}{ll} 1.&\displaystyle\int \frac{a\,dx}{(ax+b)^{n... ...{dx}{[(x+{\alpha})^2+{\beta}^2]^{n-1}}. \end{array}\end{array}$$

證明. 令 $u={(x+\alpha)}^2+{\beta}^2,$ 則

$$\begin{eqnarray*}{\textup{左邊}} &=& \frac{1}{{\beta}^2}\int \frac{u-{(x+\alpha)... ...{2(n-1){\beta}^2}\int \frac{dx}{u^{n-1}} \\ &=& \textup{右邊}. \end{eqnarray*}$$

下面舉例說明如何把真有理式化為部分分式的和, 再把這些部分分式轉換成上面四個型態來積分.

例 20   求 $$\int \frac1{x(x+1)}\,dx$$.

解. 我們用未定係數法求分項分式. 從定理知可設

$$\frac1{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}.$$

注意此式只當 $x\neq0, -1$ 時始有意義. 此時有

$$1=A(x+1)+Bx,\quad x\neq0,\quad x\neq-1.$$

令 $x \rightarrow 0$, 得 A=1. 又令 $x \rightarrow -1$, 得 B=-1. 故

$$\frac1{x(x+1)}=\frac1{x}-\frac1{(x+1)}.$$

$$\int \frac1{x(x+1)}\,dx=\ln{ \mid x \mid }-\ln{ \mid x+1 \mid }+C =\ln{ \left\vert \frac{x}{x+1} \right\vert}+C.$$

注意在本例中我們說令 $x \rightarrow 0$ 及令 $x \rightarrow -1$, 而不說令 x=0 及令 x=-1. 這是由於分式 $$\frac1{x(x+1)}$$ 的定義域不包含 0, 也不包含 -1 的緣故.

一般地講, 用未定係數法決定係數, 除上述的方法外, 還有另一方法; 即當兩個多項式的值在無限多個點處相等, 則二多項式恆等, 所以其對應同冪項的係數皆相等. 下例說明這方法:

例 21   求 $$\int \frac{x^4-3x^2+3x}{x^3-3x+2}\,dx$$.

解. $$\frac{x^4-3x^2+3x}{x^3-3x+2} =x+\frac{x}{x^3-3x+2}$$. 因 $$x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$$, 故可設

$$\frac{x}{x^3-3x+2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+2}.$$

即

$$\begin{eqnarray*}{x} &=& A(x-1)(x-2)+B(x+2)+C(x-1)^2 \\ &=& (A+C)x^2+(A+B-2C)x+(-2A+2B+C). \end{eqnarray*}$$

此式為恆等式, 因為已知兩邊在 x=1 及 x=-2 以外的點處都相等. 比較同冪項的係數乃得

$$A+C=0,\quad A+B-2C=1,\quad -2A+2B+C=0.$$

解之, 得 $A=\frac2{9}, B=\frac1{3}, C=-\frac2{9}$. 故

$$\int \frac{x^4-3x^2+3x}{x^3-3x+2} \, dx = \frac{x^2}{2} + \fr... ...\vert} - \frac{1}{3x-3} - \frac{2}{9} \ln{\vert x+2\vert} + C.$$

例 22   求 $$\int \frac{x}{(x-1)(x^2+4)}\,dx$$.

解. 設 $$\frac{x}{(x-1)(x^2+4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4}$$解之, 得 $A=\frac{1}{5}$, $B=-\frac{1}{5}$, $C=\frac{4}{5}$. 而

$$\int \frac{x}{x^2+4} \, dx = \frac{1}{2} \ln{(x^2+4)} + C,\qu... ...rac{1}{x^2+4} \, dx = \frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{x}{2} + C.$$

故

$$\int \frac{x}{(x-1)(x^2+4)}\,dx = \frac{1}{5} \ln{\vert x-1\v... ...{1}{10} \ln{(x^2+4)} + \frac{2}{5} \tan ^{-1} \frac{x}{2} + C.$$

例 23   求 $$\int \frac{26x^2-12x+11}{(x-1)^3(x^2+2x+2)^2}\,dx$$.

解. 計算後可得 $$\frac{26x^2-12x+11}{(x-1)^3(x^2+2x+2)^2} = \frac{1}{(x-1)^3} - \frac{x+7}{(x^2+2x+2)^2}$$

$$= \frac{1}{(x-1)^3} - \frac{x+1}{(x^2+2x+2)^2} - \frac{6}{(x^2+2x+2)^2}.$$

由以上型 4 得

$$\int \frac{6\,dx}{{(x^2+2x+2)}^2} = \frac{3(x+1)}{x^2+2x+2} + 3\int \frac{dx}{x^2+2x+2}$$

$$=\frac{3(x+1)}{x^2+2x+2} + 3\tan ^{-1} (x+1) + C.$$

而

$$\int \frac{dx}{(x-1)^3} = -\frac{1}{2(x-1)^2} + C,\quad -\int \frac{(x+1)\,dx}{(x^2+2x+2)^2} = \frac{1}{2(x^2+2x+2)} + C.$$

故

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int \frac{26x^2-12x+11}{(x-1)^3(x^2+2x+2)^2}\,dx}\\ ... ...}{2(x-1)^2} -\frac{6x+5}{2(x^2+2x+2)} -3\arctan ^{-1} (x+1) + C. \end{eqnarray*}$$