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遞迴公式

以前討論有理函數的積分時, 曾提到下面公式: 設 $\beta \neq {0}$, $n \geq 2$. 則

\begin{displaymath}\begin{array}{l}
\displaystyle\int \frac{dx}{[(x+\alpha)^2+\b...
... \frac{dx}{[(x+\alpha)^2+\beta ^2]^{n-1}}.
\end{array}\eqno(1)
\end{displaymath}

這式子並沒完全算出所要的積分, 但若 $n-1\geq 2$, 則右邊第二項可再利用 (1) 化簡, 這步驟可繼續進行, 直到出現 $\displaystyle\int \frac{dx}{(x+\alpha)^2+\beta^2}$ 形式的積分. 而

\begin{displaymath}\int \frac{dx}{(x+\alpha)^2+\beta^2}
=\frac{1}{\beta}\,\tan^{-1}\frac{x+\alpha}{\beta}+C.
\eqno(2)
\end{displaymath}

所以反覆利用 (1) 再配合 (2), 我們可算出一般的 $\displaystyle\int \frac{dx}{[(x+\alpha)^2+\beta^2]^n}$.

公式 (1) 是個遞迴公式 (recursion formula 或 reduction formula) 的例子, 這種情形在解一般積分的問題時常常出現, 以下是一些別的例子:

例 27   設整數 $n \geq 0$. 試證明

\begin{displaymath}\int {\sin}^n x\,dx = \left\{ \begin{array}{ll}
x+C, & n=0, \...
...n-1}{n} \int \sin^{n-2} x\,dx,
& n \geq 2.
\end{array}\right.
\end{displaymath}

證明. n=0 及 n=1 時本公式顯然成立, 底下考慮 $n \geq 2$ 的情形, 此時

\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int \sin^{n} x\,dx = -\int \sin^{n-1} x(\cos x)^{\pri...
...-1}x\cos x +(n-1)\int \sin^{n-2} x\, dx -(n-1)\int \sin^n x\,dx.
\end{eqnarray*}


移項後整理, 得

\begin{displaymath}\int \sin^n x\,dx = -\frac {\sin^{n-1}x \cos x}{n}
+ \frac {n-1}{n} \int \sin^{n-2} x\,dx.
\end{displaymath}

例 28   設 n 為正整數, 求 $\displaystyle\int_{0}^ {\pi / 2}\sin^{n} x\,dx$.

解. 若 $n \geq 2$, 則由例 27 知

\begin{displaymath}\begin{array}{cl}
\displaystyle\int_{0}^ {\pi / 2}\sin^{n} x\...
...-1}{n}\int_{0}^{\pi / 2}\sin^{n-2} x \,dx.
\end{array}\eqno(3)
\end{displaymath}

另外, $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx = 1$, $\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\sin^0 x\,dx = \pi/2$. 所以對一般 n, 反覆利用 (3), 就得答案如下:

\begin{displaymath}\int_{0}^{\pi/2}\sin^n x\,dx = \left\{ \begin{array}{ll}
\dis...
... n \geq 3, \\ \noalign{\medskip }
1, & n=1.
\end{array}\right.
\end{displaymath}

這些結果叫做 Wallis 公式, 由英國數學家 John Wallis (1616-1703) 引入. 在下篇裡將用它計算 $\pi$.

例 3   設 m 為正整數, x>0, 且 $a \neq -1$, 試證

\begin{displaymath}\int x^{a}(\ln x)^{m}\,dx
= \frac {x^{a+1}(\ln x)^{m}}{a+1}
- \frac {m}{a+1}\int x^{a}(\ln x)^{m-1}\,dx.
\end{displaymath}

證明. 由部分積分法得

\begin{eqnarray*}{\int x^{a}(\ln x)^{m}\,dx}
&=& \int \left( \frac {x^{a+1}}{a+1...
...1}(\ln x)^{m}}{a+1}
- \frac {m}{a+1}\int x^{a}(\ln x)^{m-1}\,dx.
\end{eqnarray*}


明所欲證.

$\quad$
1.
Evaluate the following integrals:(a) $\displaystyle\int \frac {\sqrt{x}}{1+x^{2}}\,dx$,     (b) $\displaystyle\int \frac {dx}{(x+2)^{3}(x+3)}$,(c) $\displaystyle\int \frac {x}{(x^{2}+2x+2)^{2}(x-1)^{2}}$,(d) $\displaystyle\int \frac {dx}{2+\cos x}$,     (e) $\displaystyle\int \frac {dx}{\sqrt{3}\, \cos x+\sin x}.$

2.
Find each of the following definite integrals: (a) $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n} x\,dx$,     (b) $\displaystyle\int_{0}^{1}x(\sin^{-1} x)^{2}\,dx$,(c) $\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{3}}\frac {\tan^{-1} x}{x^{2}}\,dx$,     (d) $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac {\sin x}{1+\sin x+\cos x}\,dx$.

3.
Obtain recursion formulas for the following integrals: (a) $\displaystyle\int \cos^{m} x \sin^{n} x\,dx.$     (b) $\displaystyle\int \frac {dx}{x^{n}\sqrt{ax+b}}.$

4.
Find the following indefinite integrals: (a) $\displaystyle\int \frac {x+6}{x^{4}-2x^{3}+2x-1}\,dx$,     (b) $\displaystyle\int \frac {x}{x^{4}+3x^{2}+2}\,dx$,(c) $\displaystyle\int \frac {x^{3}+2}{(x^{2}+x+1)^{2}(x+1)}\,dx$.

5.
(a) Show that the substitution $t=\tanh \frac{x}{2}$ can convert the integral of any rational function in x of the hyperbolic functions into the integral of a rational function in t.(b) Use (a) to compute $\displaystyle\int \frac {dx}{a+b\cosh x}$.

6.
Show that $\displaystyle\int_{0}^{a} \frac{\sin t}{1+t}\,dt >0$ if a>0.

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1999-06-27