三角函數的有理式的積分

將三角函數都用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 表出後, 再以

$$\sin x =\frac{2\tan x/2}{1+\tan ^2 x/2},\quad \cos x =\frac{1-\tan ^2 x/2}{1+\tan ^2 x/2}$$

代入, 任意三角函數的有理式都可轉換成 $\tan x/2$ 的有理式. 用 $t=\tan x/2$ 或 $x=2\arctan t$ 代換, 則 dx/dt=2/(1+t²). 被積分函數換成 t 的有理式, 可用前面介紹方法解決. 其通式為

$$\int R(\sin x, \cos x ) \,dx = \int R \left(\frac{2t}{1+t^2},... ...1+t^2} \right) \frac{2}{1+t^2} \,dt, \quad t=\tan \frac{x}{2}.$$

例 24   求 $$\int \sec x \,dx.$$

解. 設 $u=\tan x/2$, 則 $x=2\tan ^{-1} u$, du/dx=2/(1+u²). 故

$$\begin{eqnarray*}{\int \sec x\,dx} &=& \int \frac{dx}{\cos x} =\int \frac{1+u^2}... ...os x\vert} + C \\ &=& \ln \vert\sec{x} + \tan{x} \vert + C. \\ \end{eqnarray*}$$

請將這方法與前面 3 中例 19 的解法比較.

例 25   求 $$\int_{0}^{\pi /2} \frac{dx}{2+ \sin{x}}.$$

解. 設 $t=\tan x/2$. 則 $x=2\tan^{-1} {t}$, dx/dt=2/(1+t²).

$$\begin{eqnarray*}\textup{原式} &=& \int_{0}^{1} \frac{1}{2+2t/(1+t^2)} \cdot \fr... ...an ^{-1} {\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)= \frac{\pi }{3\sqrt{3}} \\ \end{eqnarray*}$$

例 26   求 $$\int \frac{dx}{a+ \cos{x}}$$.

解. 設 $t=\tan x/2$. 則 $x=2\tan{t}$, dx/dt=2/(1+t²).

$$\textup{原式} = \int \frac{1}{a+(1-t^2)/(1+t^2)} \cdot \frac{2}{1+t^2}\,dt = \int \frac{2}{a+1+(a-1)t^2}\,dt$$

以下就 a 之各種可能情況分別求解.
(1) 設 a=1, 則

$$\textup{原式} = \int \frac{dx}{1+\cos x} = \int \frac{dx}{2\c... ...\frac{1}{2}\int \sec ^2 \frac{x}{2}\,dx =\tan \frac{x}{2} + C.$$

(2) 設 a=-1, 則

$$\textup{原式} = \int \frac{dx}{-1+\cos x} = - \int \frac{dx}{... ...-\frac{1}{2}\int \csc ^2\frac{x}{2}\,dx = \cot\frac{x}{2} + C.$$

(3) 設 |a| >1, 則

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int\frac{dx}{a+\cos x} =\frac{2}{a-1}\int \frac{dt}{t... ..., {\tan}^{-1} \left(\sqrt{(a-1)/(a+1}) \tan\frac{x}{2}\right) +C \end{eqnarray*}$$

(4) 設 |a|<1, 則

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int\frac{dx}{a+\cos x} =\frac{1}{a-1}\int \frac{2\,dt... ...qrt{(1+a)/(1-a)}} {\tan x/2 +\sqrt{(1+a)/(1-a)}}\,\right\vert +C \end{eqnarray*}$$

以上 (1), (2), (3), (4) 即為所有可能情況.

這個例子對任意特殊的 a 都不會很麻煩. 我們就一般的 a 討論, 不過是要給同學們一個分款討論的例子.