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n 維空間與 n 維向量

設 n 為正整數. 我們想要定義 n維(歐氏)空間和其中的向量. 我們生活的經驗僅及維數不超過3的空間. 在高中課本中, 2 維和 3 維的向量本是用幾何的方法定義的. 當引入座標軸後, 每個2維空間的點有兩個座標, 每個 2 維向量有兩個分量, 而每個 3 維空間的點有三個座標, 每個 3 維向量有三個分量. 因為 2 或 3 維空間的點完全由其座標決定, 而向量也完全由其分量決定, 從代數的觀點, 無論座標也好, 分量也好, 都只是實數對或三實數組, 本質上沒有什麼不同; 但組成點的座標或向量的分量後, 扮演不同的角色而已.

在高中課本還有一個觀念可供我們利用, 那便是 $m\times n$ 矩陣. 我們用 $\mathbb{R}$ 表示所有實數的集合, ${\mathbb{R} }^{n}$ 表示所有實數 $1\times n$ 矩陣的集合, 稱之為 n 維空間 (n-dimensional space). ${\mathbb{R} }^{n}$ 中的元素不過是 n 個實數按一定的次序排成一列而已. 以下我們分別從向量的觀點和點的觀點來討論 ${\mathbb{R} }^{n}$ .

在高中課本中曾討論過3維向量的種種運算. 我們要把這些觀念推廣到 n 維去. 設 $x=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ 及 $y=(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n})$ 為 ${\mathbb{R} }^{n}$ 中的兩個元素. $c\in {\mathbb{R} }$ . 令

$\begin{displaymath}x+y=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots,x_{n}+y_{n}), \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}cx=(cx_{1},cx_{2},\ldots,cx_{n}), \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}(x,y)=x_{1}y_{1}+x_{2}+y_{2},\ldots,x_{n}+y_{n}). \end{displaymath}$

則 x+y, cx, (c,x) 分別稱為 x 與 y 的和, x 的 c 倍, 及 x 與 y 的內積 (inner product). 注意 x+y 和 cx 的定義與矩陣的加法與倍數定義完全一致. 因為內積 (x,y) 有時也用 $x\cdot y$ 表示, 在英文中它也叫 dot product. 三維向量空間中這些運算所滿足的法則, 在 n 維向量空間中都仍然成立讀者試自行證之. 當我們在 ${\mathbb{R} }^{n}$ 中考慮這些運算時, 它便叫作 n 維向量空間(n-dimensional vector space), 其中的元素叫作 n 維向量. 若 $x=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\in [\mathbb{R} ]^{n}$ , 則實數 $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ 叫作它的分量 (components). 每個分量都是 0 的向量叫作零向量 (null vector), 我們也用 0 表示它.

若 x 為 n 維向量則 (x,x) 的平方根叫作它的長 (magnitude,norm), 以 $\Vert x\Vert$ 或 |x| 表示. 若逼向量之長為 1, 則稱該向量為單位 (unit) 向量. 若 $x\neq 0$ ,則 $(1/{\Vert x\Vert})x$ 為與 x 同方向之單位向量. ${\mathbb{R} }^{2}$ 中的單位向量 u 都可以表作

$\begin{displaymath}u=(\cos{\theta},\sin \theta) \end{displaymath}$

之形, 式中 $\theta$ 為 u 和 x 軸的夾角. 若 u 為 ${\mathbb{R} }^{3}$ 中的單位向量, 令 $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ 為 u 和三座標軸間的夾角, 則 u 在三座頭標軸上的投影分別為 $\cos \alpha$ , $\cos \beta$ , $\cos \gamma$ . 這三個數叫做 u 的方向餘弦 (directional cosines) 而 u 可以表成

$\begin{displaymath}u=(\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma). \end{displaymath}$

其次我們從點的關念來看 Rⁿ. 在2維或3維空間中, 點也是用 2 或 3 個實數 (即其座標) 表示的. 推廣到高維情形, 我們也把 n 維實數串看成點. 這些點所構成的集合稱為 n 維空間, 仍用 ${\mathbb{R} }^{n}$ 表示. 設 $x=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ 為一點. 如果把 x 看成 n 維向量, 便稱之為該座標向量 (coordinate vector). 座標向量為 0 的點叫做 Rⁿ 的原點. 設 A, B 為兩點, 其座標向量分別為 x, y. 則 y-x 亦代表以 A 為起點, 以 B 為終點的向量, 有時用 $\displaystyle\vec{AB}$ 來表示. A, B 之間的距離定為 $\Vert y-x\Vert$ , 通常以 AB 表示. 在 n 維空間中同時考慮這距離時, 它便作 n 維歐氏空間 (Eulidean space). 雖然 n 維空間和 n 維歐氏空間在關念上不一樣, 但看成集合時它們都是 n 維空間的不同面向. 把 ${\mathbb{R} }^{n}$ 看成向量空間, 則它的元素 x, y 間則有 x+y, x-y, $x\cdot y$ 等運算, 又有向量的長的概念. 把 ${\mathbb{R} }^{n}$ 看成歐氏空間, 則可以討論 ${\mathbb{R} }^{n}$ 內點間的距離, 但點和點不能做加法, 減法等運算. 因為我們固意把符號混用, 所以若 x, y 為 ${\mathbb{R} }^{n}$ 內的兩個點, a, b 為兩個實數, 則 ax+by 可以代表以 ax+by 為座標向量的點. 以後我們常常這樣用. 例如在底下討論線段和直線時就要如此解釋在 2 維 3 維空間, 內積與夾角. 投影有密切關係, 高中課程已有介紹, 其要點如下: 設 A 和 B 為 ${\mathbb{R} }^{n}$ 內兩點, 其座標向量分別為 x 和 y. 則集合 $\{ty+(1-t)x : 0\leq{t}\leq{1}\}$ 表示線段 AB, 而集合 $\{ty+(1-t)x:t\in{\mathbb{R} }\}$ 當 $A \neq{B}$ 時表示連接 AB 的直線. 假若 A 和 B 都不是原點 O(即 $x \neq{0}\neq{y})$ , 令 $\theta$ 表示 OA 和 OB 的夾角, 則

$\begin{displaymath}\cos\theta=\frac{(x,y)}{\Vert x\Vert\Vert y\Vert}, \end{displaymath}$

而 OA 在 OB 上的投影為

$\begin{displaymath}\Vert x\Vert\cos\theta\frac{y}{\Vert y\Vert}=\frac{(x,y)}{\Vert y\Vert^{2}}y \end{displaymath}$

令 D 為以 $\displaystyle\frac{(x,y)}{\Vert y\Vert^{2}}y$ 為座標向量的點. D 即 A 在 OB 上的投影, 是 OB 和 A 距離最短的地方.

當 $n\geq4$ 時, 不再能真正圖示 ${\mathbb{R} }^{n}$ , 可是這些幾何思路依然暢通, 請看下面的說明: 設 A, B 是 ${\mathbb{R} }^{n}$ 內二點, 其座標向量分別為 X 和 Y. 令

$\begin{displaymath}L(t)=ty+(1-t)x, \quad {0}\leq{t}\leq{1}. \end{displaymath}$

下文中我們將證明 L(t) 是連結 A, B 二點的曲線中長度最短的, 而且 L(t) 的長剛好是 A 和 B 的距離 $\Vert x-y\Vert$ (見 $\S5$ 例 12). 還可證明 ${\mathbb{R} }^{n}$ 中任意點 C 的座標向量是否在 L(t) 上, 端視 AC+CB=AB 是否成立而定(見習題 1). 因此我們把 AB 線段定做 ${ty+(1-t)x:0\leq{t}\leq{1}}$ . 若 $A \neq{B}$ , 則 A, B 所決定的直線自然就定做 ${ty+(1-t)x:t\in{\mathbb{R} }}$ 了 (參看習題2). 這樣定義完全符合我們對線段和直線的直觀認識, 不只是形式上和 ${\mathbb{R} }^{3}$ 情形類似而已.

再假定 A 和 B 都不是原點 (即 $x\neq{0}\neq{y}$ ), 投影的問題相當於找 OB 直線上和 A 最接近的點. 設 OB 線上任一點為 $\lambda{y}$ , 則 $\lambda{y}$ 和 A 的距離為 $\Vert x-\lambda{y}\Vert$ . 如下用簡單的代數計算就可決定 $\Vert x-\lambda{y}\Vert$ 的最小值所在. 因

$\begin{eqnarray*}{\Vert x-\lambda{y}\Vert}^{2}&=&\Vert x\Vert^{2}-2(x,y)\lambda+... ...Vert x\Vert^{2}-{ \left[\frac{(x,y)}{\Vert y\Vert} \right]}^{2}. \end{eqnarray*}$

顯然當 $\displaystyle\lambda=\frac{(x,y)}{\Vert y\Vert^{2}}$ 時, $\Vert x-\lambda{y}\Vert$ 取得最小值. 設 D 為以 $\displaystyle\frac{(x,y)}{\Vert y\Vert^{2}}y$ 為座標向量的點. D 稱為 A 在 OB 上的投影(projection), 而 OD 稱為 OA 在 OB 上的投影; 也可以說 $\displaystyle\frac{(x,y)}{\Vert y\Vert^{2}}y$ 為 x 在 y 方向的投影. 又此時

$\begin{displaymath}\Vert x\Vert^{2}-\frac{(x,y)^{2}}{\Vert y\Vert^{2}}={\Vert x-\lambda{y}\Vert}^{2}\geq{0}. \end{displaymath}$

故有不等式

$\begin{displaymath}\displaystyle\mid(x,y)\mid\leq{\Vert x\Vert\Vert y\Vert}. \end{displaymath}$

這便是有名的 Cauchy 不等式. 在這不等式中等號成立的充要條件顯然是 $x=\lambda{y}$ 現在取 $\theta\in{[0,\pi]}$ , 使 $\displaystyle\cos\theta=\frac{(x,y)}{\Vert x\Vert\Vert y\Vert}$ 則 OA 在 OB 上的投影為

$\begin{displaymath}\displaystyle\frac{(x,y)}{\Vert y\Vert^{2}}y=\Vert x\Vert\cdot\cos\theta\cdot\frac{y}{\Vert y\Vert}. \end{displaymath}$

如此 $\theta$ 可視為 OA 和 OB 的夾角. 假如 $\displaystyle\theta={\frac{1}{2}}\pi$ , 即(x,y)=0, 則稱 x 和 y 垂直 (per-pendicular) 或正交 (orthogonal). 為了方便起見, 我們認為零向量和所有向量都垂直. 若 $u\neq{0}$ 為 ${\mathbb{R} }^{n}$ 中的向量, 則與 u 同方向的單位向量 $u/{\Vert u\Vert}$ 的諸分向量便是 u 和諸座標軸間夾角的餘弦, 我們仍稱之為 u 的方向餘弦. 以上我們在 ${\mathbb{R} }^{n}$ 中引進線段、直線、夾角、投影等觀念, 不只適合原來 ${\mathbb{R} }^{3}$ 的公式, 而且和 ${\mathbb{R} }^{3}$ 中的直觀完全相容. Cauchy 不等式是上面計算中最重要的結果, 我們特地將它用定理的形式表出:
$\begin{theorem}$($\emph{Cauchy ineqiality}$)$ . 設 $x,y\in{{\mathbb{R} }^{n}}$ ,... ...y=0$\space 或有 $\lambda\in{\mathbb{R} }$\space 使 $x=\lambda y$ . \end{theorem}$

下面的定理是古典的畢氏定理 (Pythagoras theorem) 的推廣, 請讀者自己證明.

$\begin{theorem}If the two vectors x and y in ${\mathbb{R} }^n$\space are orthogo... ...{\Vert x+y\Vert}^2=\Vert x\Vert^2+\Vert y\Vert^2. \end{displaymath}\end{theorem}$

以下幾個結果都可從 Cauchy 不等式得到:
$\begin{theorem}$($\emph{三角形不等式}$)$ . 設 $x,y\in R^n$ , 則 \begin{displayma... ...條件是 $x=0$ , 或有一實數 $\lambda\geq{0}$ , 使得 $y=\lambda{x}$ . \end{theorem}$

證明. 從 Cauchy 不等式得

$\begin{eqnarray*}{\Vert x+y\Vert}^2&=&(x+y,x+y)=\Vert x\Vert^2+2(x,y)+\Vert y\Ve... ...ot{\Vert y\Vert}+\Vert y\Vert^2}={(\Vert x\Vert+\Vert y\Vert)}^2 \end{eqnarray*}$

兩邊開方, 便可得到所求的不等式.

若等號成之, 則 $(x,y)=\Vert x\Vert\Vert y\Vert$ , 從而或 x=0, 或有一正實數 $\lambda$ 在, 使 $y=\lambda x$ . 反之若此條件成立, 則易證不等式中等號成立.

這不等式便叫做三角形不等式 (triangle inequality). 利用它, 我們立即得到
$\begin{theorem}設 $A$ , $B$ , $C$\space 為 $\mathbb{R} ^n$\space 的三點. 則\\ �... ... , $B$ , $C$\space 三點共線, 且 $B$\space 在 $A$ , $C$\space 之間. \end{theorem}$

在本定理中所列舉的距離的三個性質中, 丙也叫做三角形不等式. 這樣得到的距離和我們的直觀非常接近. 因此我們認為 ${\mathbb{R} }^{n}$ 中距離的觀念是 2 及 3 維空間中距離觀念的自然推廣.

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1999-06-27