三維向量的外積

在 ${\mathbb{R} }^{3}$ 中除了內積外, 還定義有一種外積. 因為外積的定義僅限於三維空間, 所以在本節中我們所談的向量都是三維的. 取二向量 u=(u₁,u₂,u₃), v=(v₁,v₂,v₃). 我們定義這二向量的外積 (outerproduct 或 cross product) 為

$$\begin{eqnarray*}u\times{v}&=&({u_{2}v_{3}}-{u_{3}v_{2}}, {u_{3}v_{1}}-{u_{1}v_{... ...}})i+({u_{3}v_{1}}-{u_{1}v_{3}})j+({u_{1}v_{2}}-{u_{2}v_{1}})k, \end{eqnarray*}$$

式中

$$i=(1,0,0), \quad j=(0,1,0), \quad k=(0,0,1).$$

為了便於記憶, 我們常常把此式寫作

$$u\times{v}=\left\vert\begin{array}{ccc} u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ i & j & k \end{array}\right\vert$$

這個外積的定義是純代數的. 在本節最後我們會討論到和它相當的幾何定義. 外積不滿足通常體論中的那些定律, 如交換律、結合律等. 但它滿足另外的一些定律, 自成一個系統, 茲條陳如次: 在以上公式中, 設 $\alpha,\beta\in{\mathbb{R} }, u,v,w\in{\mathbb{R} }^{3}$. 以下二公式極易證明:

$$(\alpha{u}+\beta{v})\times{w}=\alpha{u}\times{w}+\beta{v}\times{w},$$

$$v\times{u}=-u\times{v}$$

從後式可得 $u\times{v}=0$.

外積和內積互有關聯: 設

$$u=(u_{1},u_{2},u_{3}), \quad v=(v_{1},v_{2},v_{3}), \quad w=(w_{1},w_{2},w_{3}).$$

則 $u\times{v}=\left\vert\begin{array}{cc}u_{2}&u_{3}\\ v_{2} &v_{3}\end{array}\rig... ...j+\left\vert\begin{array}{cc}u_{1}&u_{2}\\ v_{1} &v_{2}\end{array}\right\vert k$.
故 $u\times{v}\cdot{w}=\left\vert\begin{array}{cc}u_{2}&u_{3}\\ v_{2}&v_{3}\end{arr... ...u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\\ w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{array}\right\vert$. 從 $u\times{v}\cdot{w}$ 的公式我們立即可以得到

$$u\times{v}\cdot{u}=u\times{v}\cdot{v}=0,$$

即 $u\times{v}$ 和 u 正交, 和 v 也正交. 本式另一個推論是

$$u\times{v}\cdot{w}= u\cdot{v}\times{w},$$

這是一個很特殊的結合律.

外積不滿足真正的結合律. 設 u,v,w 為三向量, 我們想導出計算 $t=(u\times{v})\times{w}$ 的公式. 令 t=(t₁,t₂,t₃). 因

$$u \times v=(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}),$$

故有

$$\begin{eqnarray*}t_{1} &=& (u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})w_{3}-(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})w... ...{3}w_{3})}{u_{1}}}\\ &=& (u\cdot{w}){v_{1}}-(v\cdot{w}){u_{1}}. \end{eqnarray*}$$

同理

$$t_{2}=(u\cdot{w})v_{2}-(v\cdot{w})u_{2}, \quad t_{3}=(u\cdot{w})v_{3}-(v\cdot{w})u_{3}.$$

乃得下公式:

$$(u\times{v})\times{w}=(u\cdot{w})v-(v\cdot{w})u.$$

以下解釋外積的幾何意義. 先計算 $u\times{v}$ 的長. 設 u 和 v 間的夾角為 $\theta$. 則

$$u\cdot{v}=\Vert u\Vert\Vert v\Vert\cos{\theta}.$$

於是

$$\begin{eqnarray*}{\Vert u\times{v}\Vert}^{2}&=&{(u\times{v})}\cdot{(u\times{v})}... ...{\theta)}}^{2}=\Vert u\Vert^{2}\Vert v\Vert^{2}\sin^{2}{\theta}. \end{eqnarray*}$$

乃有 $\Vert u\times{v}\Vert=\Vert u\Vert\Vert v\Vert\sin{\theta}$; 這就是說 $u\times{v}$ 的長等於以 u 和 v 為兩邊的平行四邊形的面積. 再來解釋 $u\times{v}$ 的方向. 設 $u\times{v}\neq{0}$. 則 u, v 決定一平面 $\Pi$. 因 $u\times{v}\cdot{u}=0=u\times{v}\cdot{v}$, 故 $u\times{v}$ 在$\prod$ 的法線方向. 依平常習慣, 座標系的選擇是使 i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)三向量形成一右手座標系 (或稱右手螺旋系). 因 $k=i\times{j}$, 故 i, j, $i\times{j}$ 形成右手螺旋系. 同樣情形, j, k, $j\times{k}$ 和 k, i, $k\times{i}$ 都形成右手螺旋系. 一般情形, 若 $u\times{v}\neq{0}$, 則由定義及我們圖示的習慣, u, v, $u\times{v}$ 形成右手螺旋系. 故有下面外積的幾何定義:

現在讓我們回到 $u\times{v}\cdot{w}$ 的討論. 設 $u\times{v}$ 和 w 間的夾角為 $\varphi$. 考慮以 u,v,w 為三稜的平行六面體 S. 我們取以 u,v 為二邊的平行四邊形為 S 的底邊. 則 S 的高為 $\Vert w\Vert\mid\cos{\varphi}\mid$. 因此 $u\times{v}\cdot{w}$ 的絕對值為 S 的體積. 若 $u\times{v}\cdot{w} >0$, 則 $\cos{\varphi} >0,$即 w 和 $u\times{v}$ 的夾角為銳角; w 和 $u\times{v}$ 在 u,v 所決定的平面的同一邊, 所以 u,v,w 也形成右手螺旋系. 反之, 若 $u\times{v}\cdot{w} <0$, 則 $\cos{\varphi} <0$, 即 $\varphi$ 為鈍角; w 和 $u\times{v}$ 在 u,v 所決定的平面的不同的兩邊, 所以 u,v,w 形成左手螺旋系.

習$\quad$題

1.

設 ${\mathbb{R} }^{n}$ 中三點 A,B,C 的座標向量分別為 x,y,z.
(a)若 z=ty+(1-t)x, 式中 $0\leq{t}\leq{1},$ 則 AC+CB=AB.
(b)若 AC+CB=AB, 則必有 $t\in{[0,1]}$ 使 z=ty+(1-t)x.

2.

設 A,B 為 ${\mathbb{R} }^{n}$ 中相異二點, 其座標向量分別為 x,y. 用 L 表示 A,B 所 決定的直線. 試證
(a) 若 P₁, P₂, P₃ 在 L 上, 則 P₁P₂, P₂P₃, P₃P₁ 中最長一段是其餘二段的和.
(b) 若 $P\in \mathcal{R}^{n},$ 且 AP,BP,AB 三線段中最長一段是其餘二段的和, 則 $P\in L$.

3.

Let u and v be two non-zero vectors in ${\mathbb{R} }^{n}$ and let

$$w=\Vert u\Vert v+\Vert v\Vert u.$$

Prove that w makes equal angles with u and v.

4.

設 $u,v,w\in{{\mathbb{R} }^{3}}$. 試證

$$(u\times{v})\times{w}+(v\times{w})\times{u}+(w\times{u})\times{v}=0.$$

註. 本公式叫做 Jacobi 恆等式.

5.

Let f(t)=(f₁(t),f₂(t),f₃(t)) be a vector-valued function for $t\in{[a,b]}$. If f is continuous on [a,b] and is differentiable on (a,b), prove that there is $\xi\in{(a,b)}$ such that the tangent vector of f at $\xi$ is orthogonal to the vector $f(a)\times{f(b)}$.