偏導函數

在本節中我們討論多變數函數的導函數. 單變數函數的導數可以解釋微函數的變化率. 多變數函數的變化情形會依方向的不同而有差異. 所以討論多變數函數在一點 p 的導函數時, 需要就過 p 的各個曲線考慮. 實際做法如下: 設 D為 $\mathbb{R} ^{n}$ 中的一區域, f 為定義在 D 上的函數, $p \in D$,

$$C: x= \gamma (t), \,\,\,\,\, t \in [a,b]$$

為通過 p 的一曲線, $p= \gamma (t_{0} )$. 若 $f( \gamma (t))$可微, 則

$$\left. \frac{d}{dt} f( \gamma (t)) \right\vert _{t=t_{0} }$$

稱為 f 沿 C 在 p 處的函數.

設 u 為 $\mathbb{R} ^{n}$ 中的向量, $\delta >0$. 假定對一切 $t \in \mathbb{R}$, $\vert t\vert \leq \delta$, 均有 $p+tu \in D$. 考慮線段 $C: x=p+tu,\, t \in [ \delta , \delta ]$. 則 f 沿 C 在 p 處的導函數稱為 f 在 p 處對 u 的導函數, 以下以 D_uf(p) 表示. 換言之,

$$D_{u}f(p)=\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(p+tu)-f(p)}{t}.$$

假若 $u \neq 0$, 則 $D_{u/ \Vert u \Vert }f(p)$ 稱為 f 在 p 沿 u 方向的方向導函數 (directional derivative). 因為 D_auf(p)=aD_uf(p) 對任意實數 a 均成立, 所以若能知道一函數的諸方向導函數, 則它關於任意向量的導函數便都清楚了.

若 u 為沿第 k 個座標軸的單位向量, $(1 \leq k \leq n)$, 即 $u=(0,0,\ldots,0,1,$ $0,\ldots,0)$, 式中的 1 在第 k 個位置, 我們便把 D_uf(p) 表成

$$\frac{ \partial f}{ \partial x_{k} } (p) \hbox to 1truecm{\hf... ...1truecm{\hfill} \textup{或} \hbox to 1truecm{\hfill} f_{k} (p)$$

之形, 而稱之為 partial derivative (偏導函數) of f with respect to x_k at p.

例 4   If $$f(x,y)=2x^{2} -x^{3} y^{4}$$, calculate $$\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}$$and D_uf(x,y) for u=(a,b).

解. 計算 $$\frac{\partial f}{\partial x}$$ 時, 視 y 為參數, 並保持不變. 乃有

$$\frac{\partial f}{\partial x} =4x-3x^{2} y^{4}.$$

仿此 $$\frac{\partial f}{\partial y} =-4x^{3} y^{3}$$. 對 u=(a,b), 令 (x,y) 為任意定點. 設

g(t)=f(x+ta, y+tb)=2(x+ta)²-(x+ta)³ (y+tb)⁴.

則 D_uf(x,y)=g'(0)=4ax-3ax² y⁴ -4bx³ y³.

例 5   Let f(x,y)=(x² +y² )e^{-x2 -y2}. Find $$\frac{\partial f}{\partial x} , \frac{\partial f}{\partial y}$$and D_{(a, b)} f(x, y).

Solution. Let u=(a,b) . To calculae D_{(a, b)}f(x, y) , we put

g(t)=f((x,y)+tu)=[(x+ta)² +(y+tb)² ]e^{-(x+ta)2 -(y+tb)2}

Then D_u f(x, y)=g'(0)=2(ax+by)e^{-x2 -y2} (1-x² -y² ). In particular, if u=(a,b)=(1,0), we have

$$\frac{\partial f}{\partial x} (x, y)=2ye^{-x^{2} -y^{2} }(1-x^{2} -y^{2} ),$$

and if u=(a,b)=(0,1), we have

$$\frac{\partial f}{\partial x} (x, y)=2ye^{-x^{2} -y^{2} }(1-x^{2} -y^{2} ).$$

例 6   Let

$$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{y^{3} }... ...smallskip } 0, & \textup{if }(x,y)=(0,0). \end{array}\right.$$

Compute $$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0),\frac{\partial f}{\partial y}(0, 0)$$and $D_{(\cos \theta,\sin\ theta)}f(0,0)$.

Solution. Since f(x,0) = 0 and f(0,y) = y, we have $$\frac{\partial f}{\partial x} (0,0)= 0$$ and $$\frac{\partial f}{\partial y} (0, 0)=1$$. Now $f(t\cos\theta,t\sin\theta)=t\sin^{3} \theta$. Thus

$$D_{\cos\theta ,\sin\theta}f(0,0) = \sin^{3}\theta.$$

Looking back to these examples, we see immediately that for the functions fin Ex. 4 and Ex. 5, we have

$$D_{(a,b)} f(0,0) = aD_{(1,0)} f + bD_{(0,1)} f = a\frac{\partial{f} }{\partial{x} } + b\frac{\partial{f} }{\partial{y} } ,$$

but for the function f in Ex. 6,

$$D_{(a,b)} f(0,0)\neq a\frac{\partial{f} }{\partial{x} } +b\frac{\partial{f} }{\partial{y} }$$

if $a\neq 0$ . This problem will be studied in the next section.