Green 定理

設 $x=\gamma(t), t \in [a, b]$, 為 R² 中的一條 curve C. 若對 [a, b) 中任意相異的二點 s, t 均有 $\gamma (s) \neq \gamma (t)$, 我們便說 C 是一條 simple curve. 若 $\gamma {a}=\gamma {b}$, 我們便說 C 為一條封閉 (close) 曲線. 在上個世紀末, Cammile Jordon(1838--1922) 曾證明任意一條 R² 中的 simple closed curve 必將平面分成二部分, 其中一部份有界, 叫作 C 的內部 (interior), 另一部份無界, 叫作 C 的外部 (exterior), 而 C 是它們的共同邊界 (boundary). 這就是拓樸學中有名的 Jordon Curve Theorem.

設 C 為 R² 中的一條 simple closed curve. 當我們依 t 增加的方向沿 C 繞行一週時, 若曲線的內部始終在我們的左側, 我們便說 C 是依正方向繞行的, 否則便說 C 是依負方向繞行的. 如果座標軸的選擇使 x 軸向右, y 軸向上, 則繞行的正方向便是逆時鐘方向.

英國數學家 George Green (1793--1841) 提出連繫線積分和重積分的一個定理, 其敘述如下:

本定理的一般證明和 C 與 D 的幾何性質有關, 所以至少要等到高等微積分課程中纔可詳論. 以下我們僅就幾個特殊情形加以證明: (1) 設 $y=\phi (x)$ 和 $y=\psi (x)$ 為 piecewise continuously differentiable curves, 且對一切 x 均有 $\phi (x) \leq \psi (x)$. 設

$$D=\{(x, y): y \in [\phi (x), \psi (x)], x \in [a, b]\}.$$

並假定 g(x, y)=0. 此時曲線 C 可分為四段如次:

C₁: $y=\phi (x), x \in [a, b]$, 動點從左端點移至右端點.

C₂: 連接 $(b, \phi (b))$ 至 $(b, \psi (b))$ 之線段.

C₃: $y=\psi (x), x \in [a, b]$, 但依從右端點至左端點之方向.

C₄: 連接 $(a, \psi (a))$ 至 $(a, \phi (a))$ 之線段. 遂有

$$\int_{C_2} f(x, y)\,dx=\int_{C_4} f(x, y)\,dx=0,$$

$$\int_{C_2} f(x, y)\,dx+\int_{C_3} f(x, y)\,dx=\int_a^b \displaystyle[f(x, \phi (x))-f(x, \psi (x))\displaystyle]\,dx$$

$$=-\int_a^b\left[\int_{\phi (x)}^{\psi (x)} \frac{\partial f}{... ...ght]\,dx=-\int\!\int_D \frac{\partial f}{\partial y}\,dx\,dy.$$

(2) 設 $x=\Phi (y)$ 和 $x=\Psi (y)$ 為 piecewise continuously differentiable curve, 且對一切 y 均有 $\Phi (y) \leq \Psi (y)$. 設

$$D=\{(x, y): x \in [\Phi (y), \Psi (y)], y \in [c, d]\}.$$

並假定 f(x, y)=0. 此時 Green 定理仍成立, 其證明可仿第一款的證明得之.

(3) 設 D 可分割為有限部份: $D=D_1 \bigcup D_2 \bigcup \cdots \bigcup D_n$, 其中任意兩部份的交界均在邊界上, 且每個 D_i 均為第一款中的形式; 又設 D 也可分割為有限部份: $D=E_1 \bigcup E_2 \bigcup \cdots \bigcup E_n$, 其中任意兩部份的交界均在邊界上, 且每個 E_i 均為第二款中的形式, 則 Green 定理對 D 亦成立.

例 3   Let D be a domain in the plane whose boundary is a piecewise continuously differentiable curve C. Then by the Green theorem

$$\int_C (-y\,dx)=\int\!\int_D\,dx\,dy=A,$$

where A is the area of D. Similarly $$\int_C x\,dy=A$$.