二重積分的變數變換

這積分可以視作 e^-(x2+y2) 在第一象限 D 上的積分. 利用極座標可將上式改寫為

$$I^2=\int_0^{\pi/2} \,d\theta \int_0^\infty e^{-r^2} \,rdr=\frac{\pi}{4}$$

但顯然 $I \geq 0$. 開方乃得 $I=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}$.

即令我們接受了用極座標求積分的公式, 上項討論仍有問題. 該公式適用的範圍是有界的區域, 而我們竟把它用到整個的第一象限了. 這就是說對這結果我們仍須作適度的驗證. 為本結果作數值的驗證 (numerical verification) 並不難. 首先注意應得的答案是 $\frac{1}{2}\sqrt{\pi}$=0.88622693. 然後請同學跑到計算實驗室去, 寫一個程式, 利用 Simpson 法求積分

$$\int_0^U e^{-x^2}\,dx$$

之值. 按照上限 U 之不同, 應可以算出以下諸積分值:

$$\begin{array}{cccc} \textup{上限} & \textup{積分近似值} & \t... ...622693 \\ 3.0 & 0.88620735 & 6.0 & 0.88622693 \end{array}$$

以上的計算更加使我們相信

$$\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

了. 但我們尚須在嚴格的理論基礎上 derive 這結果. 方法如下:

令

$$S_{R}=\{(x, y): 0 \leq x \leq R, 0 \leq y \leq R\},$$

$$Q_{R}=\{(rcos\theta, rsin\theta): 0 \leq \theta \leq \pi/2, 0 \leq r \leq R\}.$$

則有 $Q_{R} \subset S_{R} \subset Q_{2R}$. 令 f(x, y)=e^-x2-y2, 則 f(x, y)＞0, 故得

$$\int\!\int_{Q_{R}} f(x, y)\,dA \leq \int\!\int_{S_{R}} f(x, y)\,dA \leq \int\!\int_{Q_{2R}} f(x, y)\,dA$$

但

$$\int\!\int_{Q_{R}} f(x, y)\,dA=\int_0^{\pi/2}\,d\theta \int_0^R e^{-r^2}\,rdr=\frac{\pi}{4} (1-e^{-R^2}),$$

同理

$$\int\!\int_{Q_{2R}} f(x, y)\,dA=\frac{\pi}{4} (1-e^{-4R^2})$$

故

$$\lim_{R \rightarrow \infty} \int\!\int_{Q_{R}} f(x, y)\,dA=\l... ...ghtarrow \infty} \int\!\int_{Q_{2R}} f(x, y)\,dA=\frac{\pi}{4}$$

從極限的夾擠定理得

$$\lim_{R \rightarrow \infty} \int\!\int_{S_{R}} f(x, y)\,dA=\frac{\pi}{4}$$

但上面的極限等於 I , 我們乃得所要的結果

$$\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$

習$\quad$題

1.

試計算 $$\int\!\int_D x\,dA$$ 之值, 式中 D 表示界於圓 x²+y²=1 和橢圓 x²+4y²=1 之間的區域..

2.

試計算 $$\int\!\int_\Delta e^{-x^2}\, dA$$ 之值. 式中 $\Delta$ 之值為以 (0, 0), (1, 0) 和 (1, 1) 為頂點的三角形.

3.

試求由 x=0, z=0, 2x+3y=6, 4x+3y=12 和 2x+y+z=6五個平面所包圍的區域的體積.

4.

Evaluate by Green's theorem the line integeral $$\int_C y^2\,dx$$, wher C is the rectangle with vertices (0, 0), (a, 0), (a, b) and (0, b).

5.

Assume that C is a piecewise continuously differentiable simple closed curve enclosing a domain with area A. Compute

$$\displaystyle\int_C (ay+b)\,dx+(bx+a)\,dy.$$