面積分

在本節中我們考慮三維空間中的一個固定的 continuously differentiable 曲面 $$S: (x, y, z)=\phi(u, v), (u, v)\in D \subset {\mathbb{R} ^2}$$. 在上節的討論中我們引入了向量

$$\phi_u\times\phi_v=\left(\displaystyle\frac{\partial(y, z)}{\... ... \displaystyle\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)}\right).$$

計算表面積時我們曾利用過這向量的長度. 設 $(u_0, v_0) \in D$. 則 $\phi (u, v_0)$ 和 $\phi (u_0, v)$ 均描寫曲面上的曲線. $\phi_u (u_0, v_0)$ 和 $\phi_v (u_0, v_0)$ 分別是沿這兩條曲線的切線方向的向量. 因此 $\phi_u \times \phi_v$ 在 (u₀, v₀) 的值和切平面互相垂直. 它的方向叫作 S 的法線 (normal) 方向. 因此我們得到下列二結果:

1) S 在 $\phi(u_0, v_0)$ 處的切平面方程式為

$$[(x, y, z)- \phi (u_0, v_0)]\cdot [ \phi_u (u_0, v_0) \times \phi_v(u_0, v_0)]=0.$$

這方程式也可以寫成

$$\left \vert \begin{array}{ccc} \displaystyle\frac{\partial x... ...tial v}\\ x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \end{array}\right \vert =0,$$

式中 $(x_0, y_0, z_0)=\phi (u_0, v_0)$, 且所有偏導函數的值均在 (u₀, v₀) 處取得.

2) 設 $\phi_u (u_0, v_0) \times \phi_v (u_0, v_0) \neq 0$, 則 S 在 $\phi(u_0, v_0)$ 處的法線的參數方程式為

$$(x, y, z)=\phi (u_0, v_0)+t[\phi_u (u_0, v_0) \times \phi_v (u_0, v_0)].$$

它在該處的單位法向量為

$$n=\frac{1}{\Vert\phi_u (u_0, v_0) \times \phi_v (u_0, v_0) \Vert}\phi_u (u_0, v_0) \times \phi_v (u_0, v_0).$$

現在介紹面積分的定義. 首先仿照關於曲線長的線積分的觀念, 我們定義在一曲面 S 上的函數 g(x, y, z) 關於 S 的表面積的面積分為

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int\!\int_S g(x, y, z)\, dA=\int\!\int_D g(\phi (u, v... ...\left[\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right]^2}\, du\, dv. \end{eqnarray*}$$

以下舉兩個例子:

例 2   Evaluate $\int\!\int_S xy \, dA$, where S is the surface

$$z=xy, \qquad x, y\in [0, 1].$$

設 f 為定義於 $\mathbb{R} ^{3}$ 中的區域 D 上的連續可微分的 $\mathbb{R} ^{3}$ 值函數. 我們定義 f 的旋度 (curl) 為

$$\nabla \times f=curl f=\left(\frac {\partial f_3}{\partial y}... ...artial f_2}{\partial x}-\frac{\partial f_1}{\partial y}\right)$$

這向量也可以寫成下形:

$$\nabla \times f=\left \vert\begin{array}{ccc}\displaystyle\fr... ...\\ f_{1} & f_{2} & f_{3} \\ i & j & k \end{array}\right\vert$$

英國數學家 George Gabriel Stokes (1819--1903) 曾推廣 Green 定理如下:

在本定理的敘述中, 所謂右手螺旋系 (right-hand screw), 純用直觀. 其嚴格的討論和嚴格的證明, 都留給高等微積分. 在 Stokes 定理中取 S 為 xy 平面中的一區域 D. 又設

$$f_{1}(x, y, z) = f(x, y), \qquad f_{2}(x, y, z)=g(x, y), \qquad f_{3}(x, y, z)=0.$$

則有 $\nabla \times v=(g_{x}-f_{y})k$, 而 xy 平面依右手螺旋系的單位法向量又剛好為 k. 代入 Stokes 定理的公式中, 便得

$$\int_{c} f\, dx+g \, dy=\int\!\int_{D} (g_{x}-f_{y})\, dA.$$

這便是 Green 定理. 因此 Stokes 定理確是 Green 定理的推廣.

例 3   Let S be the part of the plane x+y+z=1 in the first octant, f(x, y, z)=(f₁, f₂, f₃)=(z², x², y²) and C be the boundary curve of S. Find

$$\int_{c} f_{1}\, dx+f_{2}\, dy+f_{3}\, dz \qquad \textup{and}\qquad\int\!\int_{s} (\nabla \times v)\cdot n\, dA.$$

Solution. S may be parametrized as x=u, y=v, z=1-(u+v). Then $$n=\frac{1}{\sqrt3}(1, 1, 1)$$ and

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int\!\int_{s}(\nabla \times f)\cdot n\, dA= \int\!\in... ...(x+y+z)\, dA=\frac{2}{\sqrt3}\int\!\int_{\Delta}\sqrt{3}\, dA=1. \end{eqnarray*}$$

where $\Delta$ denotes the projection of S on the xy-plane. In order to compute the line integral $\int_{c} f_{1}\, dx+f_{2}\, dy+f_{3}\, dz$, let C=C₁+C₂+C₃, where

$$C_{1} = {(1-t, t, 0): 0\leq t\leq 1},$$

$$C_{2} = {(0, 1-s, s): 0\leq s\leq 1},$$

and to 0.12truecm $C_{3} = {(r, 0, 1-r): 0\leq r\leq 1}.$
Hence,

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int_{c} f_{1}\, dx+f_{2}\, dy+f_{3}\, dz =\int_{c} z^... ...t)^2\, dt+\int_{0}^{1} (1-s)^2\, ds\\ &=& 3\cdot \frac{1}{3}=1. \end{eqnarray*}$$

Note that this example verifies the Stokes theorem.

習$\quad$題

1.

Let $a, b, c\in\mathbb{R} ^{3}$. Prove that the vector

$$n=a\times b+b\times c+c\times a$$

is orthogonal to the plane passing through the points a, b and c.

2.

Let f be a twice continuously differentiable function in a domain in $\mathbb{R} ^{3}$. Prove that $\nabla \times (\nabla f) = 0$.

3.

Let f be a scalar-valued function and v be a vector-valued function defined in a domain D in space. Assume that they both have continuous parital derivatives in D. Show that $\nabla \times (fv) = \nabla f \times v + f\nabla xv$.

4.

Compute

$$\int\!\int_{s}(\cos x+\sin y)\, dA,$$

where S is the portion of the plane x+y+z=1 lying in the first octant.

5.

Let f(x, y, z)=(x², y², z²), S be the sphere x²+y² +z²+1, and n be the unit outward normal from S. Compute

$$\int\!\int_{s}f \cdot n\, dA.$$

6.

(a)

設 u=9x, v=3x+2x³+6xy², w=3z, f(x, y, z) =(u, v, w). 求 curl $f = \nabla \times f$.

(b)

設 surface S 為 $$x =\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta \cos \phi$$, $$y=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta \cos \phi$$, $z=\sin \phi$, 其中 $\theta \in \left[0, 2\pi \right]$, $$\phi \in \left[0, \frac{1}{2\pi} \right]$$. 求 S 的單位外向法向量 n (unit normal vector to S).

(c)

設 f 及 S 如 (a), (b) 所述, 試計算面積分 (surface integral)

$$\int\!\int_{s}(\nabla \times f)\cdot n\, dA.$$

7.

Compute

$$\int\!\int v \cdot n\, dA,$$

where v=xyk, k being the unit vector along the positive z -axis, and n is the unit outward normal to the surface S of the cube between the planes x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 and z=1.

8.

設 u=9x, v=3x+2x³+6xy², w=3z. S 為 ellipsoid

2x²+2y²+z²=1

之上半, n 為該 ellipsoid 的單位外向法向量. 試直接計算

$$\int\!\int_{S}\nabla \times (u, v, w) \cdot n\, dA$$

之值, 並用 Stokes 定理驗證之.

9.

Let T be a solid bounded by a smooth closed surface $\Sigma$ and let n be the unit outward normal vector to $\Sigma$. Assume that v is a continuously differentiable victor field in a domain containing T. Prove that

$$\int\!\int_{\Sigma} (\textup{curl} v \cdot n)\, dS=0$$

10.

以 R 和 $$R(1-\frac{1}{n})$$ 為半徑做兩個同心圓. 從圓心 O 做 m 條射線, 將二圓各分為 m 等分. 設大圓上的分點依次為 p₁, p₂, $\cdots$, p_m 再設 Op_k 和小圓的交點為 q_k, $k=1, 2,\cdots , m$. 令 l(m, n) 為折線 $q_{1}p_{1}p_{2}q_{2}q_{3} \cdots q_{m}q_{1}$ 的長. 試計算 $$\lim_{m\rightarrow\infty } {(l{m, m^2)}}$$, $$\lim_{n\to\infty}{l(n^2, n)}$$ 及 $$\lim_{n\rightarrow\infty }{l(cn, n)}$$ 之值, 式中 c>0.