數學教「識」
對數本事
對數：對應等比的等差數
雖然《科學月刊》很大方地給我 6 頁篇幅，說這一則「指對數」故事，但我的功力不足，扣除圖片之後的文字仍然不足以完整表達。筆者想說的並不是數學史，而是歷史對數學教育的啟發，特別要闡明（非整）指數其實是跟「對數」同時誕生的，可以說「發明」（非整）指數就是為了「創造」對數。這個根本觀念，可以用來再探比例式、等差數列、等比數列、指數與對數的整體課程設計。
因為篇幅限制，我寫這篇故事的初始動機被割愛了：
〔納皮爾〕可能在西元 1614 年出版第一種對數之後，才明白他花費二十年光陰製作的對數太「特殊」，想出了更自然更容易使用的第二種對數，因而萌生〔常用對數表〕計畫。但他自知年事已高無力完成，正在感傷時不我予，接到一位倫敦格雷瑟姆學院的數學教授亨利．布里格 (Henry Briggs)
來信，他不但深刻理解自己的傑作，還提出相似的改善想法。他們在 1615
年夏季會面，布里格承諾實踐這個想法。據一位陪客轉述，他們會面時
彼此懷著仰慕之情緊握雙手，不發一語地沈浸在感動之間達十五分鐘之久。
此情此景就像柳永描述的
執手相看淚眼，竟無語凝噎。
事實上，這正是我起心探究這段歷史的動念，我想要體會：這兩個男人究竟在感動什麼？
科月編輯為這則故事寫的重點摘要非常到位，但我還是想要自我表述這一則故事想要傳遞的重要觀念。
- 本質上「指數」與「對數」是同一個觀念；它們不論在概念上還是在操作上，都像「手心和手背」。學生感覺「指數」比較熟悉，「對數」比較陌生甚至可怕，很可能是課程設計可以改進的地方。
- 10 年級學過常用對數之後的一道「標準習題：\(2^{100}\) 有幾位數？」其實是布里格取得 \(\log2\) 估計值的算法。
- 等比數列可以跟聯比例式、等比數列、\(n\) 次方根結合起來，它們是幾何平均、倍立方問題的推廣：
- 如果 \(1:x=x:2\) 則 \(1\), \(x\), \(2\) 形成等比數列，\(x=2^{1/2}\)。
- 如果 \(1:x=x:y=y:2\) 則 \(1\), \(x\), \(y\), \(2\) 形成等比數列，\(x=2^{1/3}\)。
- 如果 \(1:x_1=x_1:x_2=\cdots=x_{n-1}:2\) 則 \(1\), \(x_1\), \(x_2\),
\(\cdots\), \(x_{n-1}\), \(2\) 形成等比數列，\(x_1=2^{1/n}\)。
- 一般教科書常寫的「納皮爾發明對數」過度粗糙，其實納皮爾發明了兩款對數，其中第一款可以說是「偉大的浪費」，第二款才是我們如今使用的對數。而第二款對數的發想與實踐，布里格厥功甚偉；「主流」歷史論述對布里格有欠公允。造成這種現象，可能有一種社會／文化的原因：納皮爾是貴族，布里格是平民。
- 一旦公佈了對數表，許多難得讓人望而生畏的計算變成易如反掌，造福了科學、工程與金融發展。可惜多數學生沒有獲得這樣的經驗，大多學生的經驗恰好相反：他們認為對數是給自己找麻煩的。這真是數學教育的一樁大冤案。
我為讀者提供這一篇的全文掃描，也推薦大家去找這一期《科學月刊》的紙本來讀（第 662 期，2025 年 2 月），當然最好是能訂閱《科學月刊》！此外，也公佈筆者的原稿如下。
單維彰（2025）對數表誕生的漫長旅程：製造「對數表」比算對數更難。科學月刊，662，40–45。