數列的極限

設 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ 為一數列, $\ell$ 為一實數. 假若``只要 n (即項數) 足夠大, $\vert a_n-\ell\vert$ 就可任意地小'', 則稱當 n 趨近無限大時, a_n 趨近於極限 $\ell$, 記為

$$\lim_{n\to\infty} a_n = \ell.$$

為了排版時控制空間, 有時會把 $$\lim_{n\to\infty} a_n=\ell$$式印成 $\lim_{n\to\infty}a_n=\ell$ 甚至 $\lim a_n=\ell$. 請注意, 由定義可知 $\lim_{n\to\infty}a_n=\ell$和 $\lim_{n\to\infty}(a_n-\ell)=0$ 互為充要條件, 也和 $\lim_{n\to\infty}\vert a_n-\ell\vert=0$ 互為充要條件.

這是高中理科數學課本所給的極限定義. 它雖然不夠清楚, 但有時也夠用了, 因為在一些簡單的問題中, 我們常可找到適當的常數 K, 使得 $\vert a_n-\ell\vert\leq K/n$ 對所有的 n 都成立. 這時真的``只要 n 夠大, $\vert a_n-\ell\vert$ 就可以任意地小''了.

例 1   試證明 $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac13}=1$$.

證明. 設 $\theta_n=\sqrt[n]3-1$. 則 $\theta_n>0$, 且

$$3=(1+\theta_n)^n \geq 1+n\theta_n.$$

故 $\theta_n\leq 2/n$. 於是

$$\left\vert\sqrt[n]{\frac13}-1\right\vert =\left\vert\frac1{\s... ...t\vert =\frac{\theta_n}{1+\theta_n}\leq \theta_n \leq \frac2n.$$

由此顯然

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac13}=1.$$

關於極限的運算有下列公式: 設 $\lim_{n\to\infty} a_n=A$, $\lim_{n\to\infty} b_n=B$, $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$, 則

$$\lim_{n\to\infty} (\alpha a_n+\beta b_n) = \alpha A + \beta B,\eqno(1)$$

$$\lim_{n\to\infty} a_n b_n = AB.\eqno(2)$$

再設 $B\not=0$, 且對一切 n, $b_n\not=0$, 則

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}B.$$

這些公式在高中課本中都曾提過. 在下篇中會給出完整的證明. 利用這些公式常可化簡問題.

例 2   求證 $\lim_{n\rightarrow\infty}\,(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2+1})=\frac{1}{2}$.

證明. 我們有

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2+1})}\\ &=&... ...+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}} +\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$$