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設 f 在 c 點附近有定義. 假若``只要 x 和 c 充分接近,
f(x) 就可以與
任意接近'', 則稱 x 接近 c 時,
f(x) 以
為極限. 我們用
表之.
上面的定義非常含糊. 嚴謹的定義留待下冊. 關於函數的極限也有些運算的公式.
因為高中課本已經詳細討論過這些公式, 也因為它們和數列的極限的運算公式非常相似,
所以我們在此不再重複. 在下編中我們將把這些公式詳細推導出來.
高中課程還提到下面的所謂夾擠定理:
設
,
且有某 s>0, 使在 0<|x-c|<s 的範圍內
成立, 則
本定理的證明也留到下編. 在討論
時,
通過
點做兩條直線, 其斜率分別為
,
式中 K 為一正數. 這兩條直線把平面分成四部份,
其中有兩部份包含著水平的直線
.
如果曲線 y=f(x) 落在這兩部份之內,
換言之, 如果當
但和 c 很接近時, 有
這時條件``只要 x 和 c 充分接近, f(x) 就可以與 l 任意接近''顯然符合.
於是
成立. 這也可以從夾擠定理看出. 底下是一些應用的例子:
例 3
例 4
試證

證明. 因
,
故
,
從而
但
,
由夾擠定理得
.
例 5
設
m 為正奇數,

,
求證
![$\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}\sqrt[m]{x}=\sqrt[m]{c}$](img62.gif)
證明. 令
.
則 s>0. 當 |x-c|<s 時,
和
同號. 故對
,
.
在 |x-c|<s 範圍內,
由夾擠定理得知
.
註. 上面討論也可用來證明若 n 為正整數, c>0,
則
.
這些事實在習題中要用到. 在這二例中, c=0 時也成立, 只是不能用這種方法證明.
例 6
試證

不存在.
證明. 我們用歸謬法. 先假設
存在.
其值為
.
我們希望從這裡導出矛盾. 對
令
當
時
,
所以
但
不可能又是 1 又是 -1.
此矛盾由假設
存在而來.
所以
不存在.
例 7
定義
f(
x) 如下: 當
x 是無理數時定義
f(
x)=0,
而當
x 是有理數, 且
x 表成既約分數時為

,
m>0,
則定義

則

對一切實數
c 都成立.
此我們只討論
c 是有理數的情形. 設

其中
p 是整數,
q 是正整數,
p 和
q 互質. 再假定
x=
n/
m, 其中
n 是整數,
m 是正整數,
n 和
m 互質, 且

.
則
故有

.
此式當
x 為無理數時也成立. 由夾擠定理得
在例 6 中
不存在.
還有些複雜的例子,
存在,
卻不能確知其數值.
另外如例 3、例 5, 則
,
即當 x 趨近 c 時, f(x) 不但有極限, 而且極限值為 f(c).
這種特性通常稱為 f 在 c 點為連續函數 (continuous function).
假若對間隔 I 內的每一點 c,
都成立,
則稱 f(x) 在 I 上(到處)連續.
在 I 上連續函數的直觀想法是繪製 y=f(x) 的圖形時可以保持筆尖不離紙面.
從例 3 得知多項式函數在實數軸上是到處連續的.
習

題
- 1.
- 求證
.
提示: 利用例 1 中
的結果.
- 2.
- 求證 (a)
,
(b)
.
- 3.
- 求證
.
- 4.
- 設 a,b,c 為實數. 試計算
.
- 5.
- 試證
.
- 6.
- 試證明當
時,
.
從而導出
.
- 7.
- 證明
不存在.
- 8.
- 證明
.
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1999-06-27