二變數函數的重積分

把積分的觀念推廣到多變數的函數上去, 有很多種方向. 除了上面所說的線積分外, 最基礎的推廣便是多重積分 (multiple integral) 了. 但多重積分的計算有賴於疊積分 (itrated integral). 所以以下我們也討論2或3變數的函數的疊積分. 單變數函數積分的觀念由面積引發. 同樣地, 二變數函數積分的觀念可由體積引發. 我們希望能用嚴格的方法定義兩個變數函數的重積分 (或譯作二重積分 double integarl), 使合於下述的描述: 設兩個變數函數 f(x,y) 定義於區域 $D\subset \mathbb{R} ^2$ 上. 在空間引入座標後, 把 D 看成 xy 平面中的集合, 則曲面 z=F(x,y) 和 D 間所夾的體積, 如果我們把其在 xy 平面以上的部份看成正的, 以下的部分看成負的, 便是 f(x,y) 在 D 上的重積分, 以

$$\int\!\int_{D} f(x,y)\,dx\,dy \quad \textup{或} \quad \int\!\int_{D} f(x,y)\,dA$$

表之.

以上的討論不是重積分的定義, 而是一種直觀的解釋. 事實上從本節開始至下章末止, 我們不要求理論的嚴謹性, 而僅依靠直觀. 因為多變數函數的積分學應屬高等微積分的範圍, 此時無法講得嚴謹. 藉著直觀的解釋, 我們猜想重積分具下述諸性質:

(1) 若 c 為常數, 則 $\int\!\int_{D}c\,dA$ 之值為 D 的面積的 c 倍.

(2) 若 f, g 都在 D 上可積, a, b 都是常數, 則 af+bg 亦在 D 上可積, 且

$$\int\!\int_{D}(af+bg)\,dA=a\int\!\int f\,dA+b\int\!\int_{D} g\,dA$$

(3) 若 f 在 D 上可積, 且 $f\geq0$. 則 $\int\int_{D}f(x,y)\,dA\geq0$.

(4) 設 $D=D_1\cup D_2$, D₁, D₂的交集是有限條線段的union, 則

$$\int\!\int_{D}f\,dA, \quad \int\!\int_{D_1}f\,dA \quad \textup{及} \quad \int\!\int_{D} f\,dA$$

三個重積分中只要有兩個存在, 第三個也存在, 且

$$\int\!\int_{D} f\,dA=\int\!\int_{D_1} f\,dA+\int\!\int_{D} f\,dA.$$

例 2   設 D 為以原點為中心, 以 a 及 b 為半徑 (a<b)之二圓所夾的環狀區域 (annulus), f 為 D 上的可積分函數. 則將 D 分為四部分可得

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int\!\int_D f(x, y)\,dA=\int_{-b}^{-a}\,dx \int_{-\sq... ..._{a}^{b}\,dx \int_{-\sqrt{b^2-x^2}}^{\sqrt{b^2-x^2}} f(x, y)\,dy \end{eqnarray*}$$