向量值函數與曲線

設 t 為間隔 I 中的變數, $f:I\rightarrow {\mathbb{R} }^n$. 我們稱 f 為 t 的向量值函數 (vector-valued function). 設向量值函數

$$f(t)=(f_1(t),f_2(t),\ldots ,f_n(t)).$$

則諸分量 f_k(t) 均為 t 的實值函數. 反之, 從 n 個實值函數 f_k(t) 必可組成一個向量值函數 $f(t)=(f_1(t),f_2(t),\ldots ,f_n(t)).$

設 $l=(\ell_1,\ell_2,\ldots ,\ell_n)$ 為一定向量, 則對 $i=1,2,\ldots ,n$ 均有

$$\mid f_i(t)-\ell_i\mid \leq{\Vert f(t)-\ell\Vert}\leq{\sqrt{n}\,max\{ \mid f_k(t)-\ell_k\mid :1\leq{k}\leq{n}}\}.$$

故得: $lim_{t \rightarrow c} \Vert f(t)-l\Vert=0$ 的充要條件是

$$\lim_{t \rightarrow c}\mid f_i(t)-\ell_i\mid =0, \quad i=1,2,\ldots ,n$$

此時我們說當 t 趨近於 c 時, f(t) 以l為極限, 記做

$$\lim_{t \rightarrow c} f(t)=\ell,$$     或      $lim_{t \rightarrow c} f(t)=\ell.$

若 $c\in{I}$ 且

$$\lim_{t \rightarrow c} f(t)=f(c)$$

我們便說 f 在 c 點連續. 從以上的討論可知此式成立的充要條件是每個點都連續.

如果我們將 f 的值想成點, 則當 t 在 [a,b] 中變動時, 該函數描繪 n 維空間中的一曲線 (curve), t 叫該曲線之參數 (parameter). 有時我們用

$$x=(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$$

代表空間一般的點, 而將該曲線寫成

x=f(t),

或

$$x_1=f_1(t),\quad x_2=f_2(t),\ldots , x_n=f_n(t)$$

之形. 如果將參數 t 想成時間, f(t) 想成一動點在時間 t 之位置, 則曲線描繪動點運動之軌跡

例 1   設 0<b<a. 我們用 (x,y) 表示2維空間中任意點的座標. 則

$$x=a\cos t, \quad y=b\sin t, \quad t\in{[0,2\pi]}$$

描繪以 a 為長軸, 以 b 為短軸的橢圓. 此橢圓的焦點為 $(\pm{c},0)$, 式中

c²=a²-b².

例 2   設一半徑為 r 的車輪邊緣上有一點 P. 最初 P 落於原點處, 車輪以 x 軸為軌道前進. 當車輪轉動過的角度為 t 時, P 點的軌跡可用參數方程組

$$x=r(t-\sin t), \quad y=r(1-\cos t), \quad t\in{R}$$

表示. 這曲線叫做 cycloid (擺線或旋輪線)

例 3   設 a,b 為二正數. 在一張紙上用油漆畫一條直線 y=bx. 再在空間取一圓柱 x²+y²=a². 將圓柱平放在紙上, 使紙上的原點和圓柱上的 (a,0,0) 重合, 紙上的 y 軸和圓柱上通過 (a,0,0) 的母線重合. 將圓柱在紙上滾動, 則油漆線會在圓柱上印出一條空間曲線, 叫做 (circular) helix (螺旋線). 其參數方程式為

$$x=a\cos t, \quad y=a\sin t, \quad z=abt$$

令 c 為 [a,b] 中的一點. 若

$$\lim_{t \rightarrow c}\frac{f(t)-f(c)}{t-c}$$

存在, 則稱 f 在 c 處可微分, 而稱以上之極限為 f 在 c 處的導數, 以 f'(c) 表之. 若 $f(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),\cdots,f_{n}(t))$ 如前, 則

$$f'(t)=(f'_{1}(t),f'_{2}(t),\cdots,f'_{n}(t)).$$

把 x=f(t) 想成曲線時, f`(c) 代表曲線在 f(c) 處的切向量, 直線

$$x=f(c)+f'(c)t,\quad t\in{\mathbb{R} }$$

便是曲線 x=f(t) 在 t=c 處的切線 (tangent line). f(c) 叫做切點 (point of tangency). 如果我們將 f(t) 想成質點的運動, 則 f'(c) 表示質點於 c 時之速度. |f'(c)| 為此時之速率. 例如若 a,v 為定向量, 其中 $v\neq{0}$, 令

$$f(t)=a+tv,\quad t\in{(-{\infty},\infty)}.$$

則 f(t) 描繪通過 a 點的一條直線, 其切向量到處都是 v. 若採用運動的模型, 則實點從 a 出發, 以 v 為速度作等速運動. v 為運動的速度, |v| 為運動的速率.