極座標、圓柱座標與球座標

除了利用直角座標系表示平面上的點外, 還有另一種利用一對實數表示平面上的一點的方法. 設 $r,\theta$ 為二實數. 令

$$x=r\cos{\theta}, \quad y=r\sin{\theta},$$

再令 P 為直角座標為(x,y)的點, 則 $(r,\theta)$ 稱為 P 點的一組極座標 (polar coordinates); r 叫 P 的向徑 (radius vector), $\theta$ 叫 P 的 輻角 (amplitude).

給定 $(r,\theta$), 則以 ($r,\theta$) 為極座標的點 P 便完全確定了. 但反之, 若給定了點 P, 其極座標 ($r,\theta$) 卻不能完全確定. 若 P 為原點, 則對任意 $\theta ,(0, \theta )$ 都是它的極座標. 若 P 不是原點, ($r,\theta$)是它的一組極座標, 則 P 的所有極座標的集合為 $\{({(-1)}^{n}r, \theta+{n\pi}): n\in{\mathbb{Z} }\}$, 式中 $\mathbb{Z}$ 表示所有整數的集合. 但另一方面, 任意點 P 都至少有一組(因而便有無限多組)極座標. 事實上, 設 (x,y) 為 P 的直角座標. 若 x=y=0, 則無論 $\theta$ 怎麼取,($0,\theta$)都是 P 的極座標. 當 x,y 不同時為0時, 令

$$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$$

$$\theta=\left\{ \begin{array}{ll} \arccos{\displaystyle\frac{... ...splaystyle\frac{x}{r}} & \mbox{if $y<0$}, \end{array} \right.$$

時, 則 ($r,\theta$)為 P 的一組極座標. 高中課本中雖然沒討論過極座標, 但曾引進過複數的觀念. 其實我們可以把二維空間中的點看作複數, 這點的兩個座標便是複數的實部和虛部. 換言之, 對應於 ${\mathbb{R} }^{2}$ 中的點 P=(x,y) 令 z(P)=x+yi(式中 $i=\sqrt{-1}$). 則 z 是從 ${\mathbb{R} }^{2}$ 到所有複數集的一一對應. 令 r=|z(P)|, 則 $r=\Vert P\Vert$. 又令 $\theta=\mbox{Arg}(z(P))$. 則 ($r,\theta$) 便是點 P 的一組極座標. 點的極座標 r 和 $\theta$ 間可能滿足某種關係式. 如果所有滿足該關係式的點形成一曲線, 則該關係式叫作曲線的 極方程式 (polar eqution). 例如若 $f(\theta)$ 為 $\theta$ 的連續函數, 令 C 表示極方程式 $r=f(\theta)$ 所定義的曲線, 則可視 $\theta$ 為參數, 立刻得到 C 在直角座標系下的參數方程式:

$$x=f(\theta){\cos}{\theta}, \quad y=f(\theta)\sin{\theta}.$$

利用極方程式繪圖最好用極座標紙. 這種紙上印有呈蜘蛛網形狀的圖形. 圖形的中心是圓點, 圍繞著圓點有很多同心圓, 表示 r =常數; 通過原點又有很多射線, 表示 $\theta$ =常數. 你如果買不到這種紙, 建議你自己繪製一張, 然後利用影印機複製一些, 因為有很多有趣的曲線都是用極方程式表示的. 茲舉例如下:

現在我們想將極座標的觀念推廣到三維空間. 推廣的方法有二: 我們用 (x,y,z) 表示三維空間中一點 P 的直角座標系. 如果在 xy 平面中引入極座標系

$$x=r\cos{\theta}, \quad y=r\sin{\theta},$$

則點 P 可由 $(r,\theta,z)$ 完全決定. $(r,\theta,z)$ 叫作 P 的圓柱座標 (cylindrical coordinates).

設座標系的原點為 O 連接 OP , 令 OQ 為 OP 在 xy 平面上的投影. 設自正 x 軸旋轉至射線 OQ 的角為 $\theta$, 自射線 OQ 旋轉至射線 OP 的角為 $\varphi$. 再令 OP 的長為 $\rho$. 則 $(\rho,\theta,\varphi)$ 叫作點 P 的球座標 (spherical coordinates). 球座標和直角座標的關係如下:

$$x=\rho\cos{\theta}\cos{\varphi},$$

$$y=\rho\sin{\theta}\cos{\varphi},$$

$$z=\rho\sin{\varphi},$$

通常我們選擇 $\rho\geq{0}$, $\theta\in{[0,2\pi]}$, $\varphi\in [-\pi/2,\pi/2]$.

習$\quad$題

1.

Find a formula to compute the distance between the points in the plane whose polar coordinates are $(r,\theta)$ and $(R,\theta)$. Also find a similar formula for spherical coordinates in ${\mathbb{R} }^{3}$.

2.

試證自橢圓上任一點至兩焦點的連線, 與該點處切線之交角相等.

3.

(a) 試求 cycloid 上任一點處切線的方程式.
(b) 試求 helix 上任一點處切線的方程式.

4.

The curve whose polar equation is $r^2=a \cos{2\theta}$, where a>0, is called a lemniscate (雙紐線). Sketch its graph, and find the area inside one of its two loops.

5.

以 $r=1-2\sin{\theta}$ 為極方程式的曲線叫做 limacon. 試繪出它的圖形, 並求其內部小閉曲線所圍成的面積.

6.

在三維空間中考慮向量值函數

$$f(t)=(t^2-t+1,t^3-t+2,sin\pi t), \quad t\in{R}.$$

試證 (1,2,0) 為該曲線和本身的交點, 並求出該交點處曲線的兩條切線.

7.

試寫出 four-leaved rose 及 five-leaved rose 之方程式, 並繪出其圖形.

8.

將一條纏繞在一固定圓形線軸的絲線拉直繞開. 試求此線端點軌跡的極方程式, 並繪出此曲線. 註. 這曲線叫做 involute of the circle.

9.

極方程式為

$$r=\displaystyle\frac{ep}{1-ecos{\theta}}$$

的曲線當 0<e<1 時為橢圓, e=1 時為拋物線, e>1 時為雙曲線. 試證明之.

10.

Find the area of the common interior of the cardioid $r=1+cos{\theta}$ and the circle $r=sin{\theta}$.

11.

設 $(\rho,\theta,\phi)$ 為空間一點 P 的一組球座標. 試寫出 P 的所有球座標的集合.