弧長

現在回到一般曲線的討論. 在 ${\mathbb{R} }^{n}$ 中考慮一條曲線

$$x=f(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),\ldots ,f_{n}(t)), \quad t\in{[a,b]}$$

我們要計算曲線的弧長. 嚴謹地說, 我們還沒給弧長作定義. 此處我們採用直觀的 (intuitive) 態度. 以下假定 f(t) 有連續的導函數. 令 S(t) 表示 u 在 [a,t] 範圍時, x=f(u) 的弧長. 當正數 h 很小時, f(t+h) 和 f(t) 很接近. 這二點的距離 $\Vert f(t+h)-f(t)\Vert$ 又和 s(t+h)-s(t) 相差不遠. 遂有

$$\begin{eqnarray*}s{'}(t)&=&\lim_{h \rightarrow 0}\displaystyle\frac{1}{h}\Vert f... ..._k(t) \mid\displaystyle\right]}^\frac{1}{2}=\Vert f{'}(t)\Vert. \end{eqnarray*}$$

所以我們可以把整條曲線的長定義為

$$s(b)=\int_{a}^{b}\Vert f'(t) \Vert \,dt.$$

設

$$C_1:x=f(t), \quad t\in{[a,b]}$$

及

$$C_2:x=g(u), \quad u\in{[c,d]}$$

為 ${\mathbb{R} }^{n}$ 中二曲線的參數式, 其中 f 和 g 為向量值函數. 若有一狹義增函數 $\varphi:[a,b]\rightarrow [c,d]$ 使

$$f(t)=g(\varphi(t)),$$

我們認為 C₁ 和 C₂ 代表同一條曲線, t 和 u 是這曲線的兩個不同的參數. 若 g(u) 和 $\varphi(t)$ 均可微, 則 f(t) 亦可微, 且由 chain rule,

$$\int_{a}^{b}\Vert f'(t)\Vert dt=\int_{a}^{b} \Vert g'(\varphi(t))\Vert{\varphi}'(t)dt=\int_{c}^{d} \Vert g'(u)\Vert du.$$

這就是說弧長是曲線的性質, 與表示它時所使用的參數無關.

假若採用曲線為動點軌跡的觀點, 把參數 t 看成時間, 則 s(t) 可以想像為動點從時間 a 出發, 到時間 t, 它經過了的路線的長度. 上面的 $s'(t)=\Vert f'(t)\Vert$ 便是動點的速率. 函數 g(x), $a\leq{x}\leq{b}$. 的圖形是平面曲線的特例, 這時曲線的參數方程式可視為 x=t, y=g(t), $a\leq{t}\leq{b}$. 其弧長的公式化簡為

$$s(b)=\int_{a}^{b}\sqrt{1+{[g'(t)]}^2}\,dt=\int_{a}^{b}\sqrt{1+{[g'(x)]}^2} \,dx$$

設一曲線以極座標的參數的參數式

$$r=f(t), \quad \theta=g(t), \quad t\in{[a,b]}$$

表示. 則因其直角座標 (x,y) 滿足 $x=r\cos{\theta}, y=r\sin{\theta}$, 故

$$\begin{eqnarray*}s'(t)^2&=&(r'\cos{\theta}-r{\theta}'\sin{\theta})^2+(r'\sin{\theta}+r{\theta}'\cos{\theta})^2 \\ &=&{[f'(t)]}^2+{[f(t)g'(t)]}^2. \end{eqnarray*}$$

從而此曲線的全長為

$$\int_{a}^{b}\sqrt{{[f'(t)]}^2+{[f(t)g'(t)]}^2}\,dt$$

特別地, 當 ${\theta}=g(t)=t$ 時, 則曲線滿足極方桯式 $r=f(\theta)$, $\theta\in{[a,b]}$. 其全長的公式乃簡化為

$$\int_{a}^{b}\sqrt{{[f'(\theta)]}^2+{[f(\theta)]}^2}\,d\theta$$

例 4   圓 $x=r\cos{t}, y=r\sin{t}, t\in{[0,2\pi]}$ 的全長度是

$$\int_{0}^{2\pi}\sqrt{r^2[\sin^2{t} +\cos^2{t}]}\,dt=2\pi r$$

如果我們不用參數式, 而用

$$y=\sqrt {r^2 -x^2}, \quad x\in{[0,r]}$$

來計算在第一象限中上述圓的弧長, 我們便必須利用瑕積分. 事實上, 當 y>0 時圓的方程式可以寫作

$$y=\sqrt{1-x^2}.$$

而第一象限中的弧的範圍是 $x\in{[0,1]}$. 因此其弧長 L 應依下計算:

$$L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+{(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}\,})}^2}\,dx=\in... ...{t \rightarrow 1}\arcsin{x}\right\vert _{0}^{t}=\frac{\pi}{2}.$$

因為被積分函數在 x=1 處根本沒有意義, 它甚至在 [0,1) 中都不是有界函數 (bounded function), 這是一個曲型的瑕積分.

例 5   $y=\cosh{x}, x\in{[-a,a]}$. 這曲線叫 catenary (懸鏈線), 它的全長是

$$\int_{-a}^{a}\sqrt{1+\sinh^2{x}} \,dx=\int_{-a}^{a}\cosh{x}dx=2\sinh{a}$$

Catenary 的一個好玩的性質是這弧長和它與 x 軸間所的面積相同.

例 6   考慮 cardioid $r=1-\cos{\theta}, {\theta}\in{[0,2\pi]}$. 此時

$$r^2 +{r'}^2=2(1-\cos{\theta})=4\sin^2{\frac{1}{2}\theta}$$

故其全長為

$$\int_{0}^{2\pi}2\sin{\frac{1}{2}\theta}d\theta=8$$

習$\quad$題

1.

Express the length of one wave of the sine curve

$$y=\sqrt{a^2-b^2}\, \sin{\displaystyle\frac{x}{b}}, \quad a>b>0$$

in terms of the length L in the last problem.

2.

設一曲線以球坐標的參數式

$$\rho=f(t), \quad \theta=g(t), \quad \varphi=h(t), \quad t\in{[a,b]}$$

表示. 試求此曲線的弧長公式.

3.

平面上的曲線

$$x=a\cos^{3}{t}, \quad y=a\sin^{3}{t}, \quad t\in{[0,2\pi]}$$

叫作 astroid. 試繪該曲線, 並計算其總長及其所包的面積.

4.

The curve whose polar equation of is $r^2=\cos{2\theta}$is called a lemniscate.
(a) Find the equation of this lemniscate in retangular coordinates.
(b) Find the total area within both loops of this lemniscate.
(c) Write an integral representing the total length of this lenmiscate.

5.

Find the arc length of one turn of the helix

$$x=a\cos{t}, \quad y=a\sin{t}, \quad z=bt, \quad t\in{[0,2\pi]}$$