前言及設計理念

在這一套微積分網路教材裡, 我們將注意力完全集中在單變數函數上. 所以, 這可以說是一門單變數微積分課程. 使用者 (無論是教師還是學生) 可以選擇不同的預定學習路徑, 以便使這份教材適合不同長度的學習時間和學習大綱. 詳細的情形留待本文的最後說明.

設計這些教材的之前, 我有一些核心的想法. 這些想法, 或者說理想吧, 是我之所以要寫這套教材的原因, 也是我最終希望達到的目標. 我不會因為任何技術上或外來的因素而與這幾點理想妥協. 如果在編寫的過程中, 我終於發現當初過於樂觀, 而必須承認這樣的目標是無法達成的時候, 我就寧可放棄這套教材的編寫計畫.

引發我開始編寫這套教材的原因, 是在 1996 年的秋季, 前往本校中央大學 機械系 支援其一學期的新型微積分課程. 這個課程是他們的整套教學改善計畫的一部分. 根據我的瞭解, 其精神就是希望減少課程中重複的部分, 以期將學生的時間轉移到比較多樣化的專業科目上. 這一學期的課程內容, 簡單地說就是個``單變數''微積分的核心課程內容.

一九九六年十月四日, 第一堂課的講義上, 我企圖對學生們預告這門課的特殊性質. 所以, 在實際教學之前, 我寫了一段序言. 當時, 可以說是假設的理想. 經過了一個學期的實驗之後, 某些想法被保留到現在, 而某些想法是必須經過修正的. 此後, 在工作中學習的結果, 產生了些許設計或觀念上的想法, 我一併記錄於下.

• 1996 年 10 月 4 日所寫的 初始序言
• 1998 年 6 月發表的微積分研討會論文: 電腦網路對微積分教學所可能產生的影響

• 以數學為主---一個數學老師的辯白

長久以來, 大學理工商學院的大一學生都必修微積分. 而微積分一直是由數學系的教師到各系去授課. 可以說, 微積分是數學系對全校提供的服務性課程. 但是, 最近我們受到一些責備, 接受服務的一方要求我們改變服務的方式或內容.

這是一個不一樣的時代了. 整個社會的每一個環節都在改變的時候, 教育環境當然也不能被豁免. 但是我們回頭想想, 教育事業一向就是服務業. 我們和其他的服務業不同的是, 我們有權力釐定自己所提供的服務內容與品質 (例如教材與教法的選擇), 評定受服務者是否有資格被服務 (例如大學聯考), 以及評定受服務者是否成功地接受了我們所提供的服務內容 (例如學期成績). 在我們的社會裡面, 尚未存在反方向的評定權力. 在今天這個社會環境下, 這個現象看起來是很不平等, 很不民主的. 於是我們可以理解, 受服務的大眾正汲汲於爭取他們的權力.

我們當然不能否認平等與民主的功能. 今天我們所享受的生活, 多半由它所賜. 但是不要忘了, 民主的成功, 奠基於一個假設: 參與決策的人民擁有充分而平等的資訊來源與知識水平, 提供他們作為判斷的依據. (世界上很多國家還無法符合這個假設, 這基本上也就是為什麼很多國家的民主政治並不成功的原因.) 在教育這個課題上, 上述的假設是很難達成的. 因為這個課題所要討論的內容,

不平等. 假平等. 學院林立. 百分比. 追求卓越的本能和渴望.

但是, 改變是在所難免的. 在態度上, 我們已經可以感覺到, 一名教師不再能僅以他的職業就自動獲得別人的尊重. 在社會上, 我們一方面被要求融入人群, 一方面又被期望保持客觀和清醒. 人生總是充滿了矛盾; 但是我認為, 在一個所謂自由平等的環境中, 矛盾的存在更加明顯. 且假設我們有足夠的智慧在矛盾中尋求平衡的人生. 那麼, 以一名數學教師而言, 我們融入人群的那一部分, 就應該表現在教材與教法的現代性: 我們應當選擇現代化的題材, 佐以現代化的工具. 而我們客觀清醒的那一部分, 就應該表現在教材與教法的固有性: 面對外界各種不知其然的要求改變的聲浪, 我們自當有為有守. 因為只有我們自己才擁有足夠的學識, 用以判斷哪些是可以因時代而改變的技能, 而哪些是不隨時間而改變的恆久智慧.

數學老師所受到最多的不明究理的責難, 就是我們所教的東西「沒有用」. 所謂「沒有用」是應該界定範圍的: 究竟是在科學文明中沒有用, 在日常生活上沒有用, 在文化素養中沒有用, 還是在專業領域上沒有用? 我想, 即使沒有受過高等教育的人, 也不會認為數學在人類的科學文明上是沒有用的. 有人說數學是科學的皇后 (她的貞操不容懷疑), 有人說數學是科學的僕役. 說得不卑不亢吧, 數學至少是科學的語言. 語言是我們用以思維, 傳遞, 與記錄的媒介. 沒有了語言, 人類還能進行什麼智慧活動呢? 所以, 在這一方面, 我認為不需多費力氣為數學教育做任何辯解.

如果要說數學在日常生活中沒有用, 那麼什麼是有用的呢? 我可以大膽地宣稱, 所有我們在小學畢業以後從課堂中學習的知識, 都是在日常生活中沒有用的. (其實, 還有人做更大膽的宣稱.) 大部分人盲目地相信物理和生物學是比較「有用」的學科. 讓我們想想, 在一般人的日常生活中, 誰須要使用類似 F=ma 和 S=vt 這樣的物理定律來過日子? 誰在菜市場裡面須要將蔬果魚肉做界門綱目科屬種的分類, 誰又須要知道青蛙肝臟的位置? 因此, 我相信, 「日常生活中的沒有用」是高等教育內容的普遍現象. 那些只須要日常生活的知識的人, 只需要九年國民教育.

讓我們回顧一段中學國文課本裡面的詩經.

僇僇者莪 匪莪依蒿
哀哀父母 生我劬勞

在教學方法上, 我們企圖以數值計算的估計, 圖形的展現, 口語的討論, 以及數學的嚴謹形式, 交代微積分的觀念, 理論與算法, 並同時釐清因微積分而引出的重要數學命題. 例如實數的結構, 函數的連續性, 實數數列與級數, 函數數列與級數的收斂性與收斂速度問題.

• 歷史與文化

• 計算機的角色

這套教材, 最希望傳達給學生的, 是清晰的數學基礎. 我深信, 清晰的理解未必來自繁複的練習. 尤其在電腦軟體如此成熟的今天, 我們有幸可以將繁複的手續交由機器代勞, 而得以將大部分的精力集中在觀念的理解上.

美國西北大學數學系的 Boas 教授, 大約在 1988 年做了一首詩調侃計算機輔助教學. 他說, 人們花了大把大把的力氣, 寫了非常非常複雜的程式以描述本來就很簡單的觀念. 雖然計算機自從 1988 年以來進步了很多, 我還是要警惕自己別成為 Boas 諷刺的對象. 而且, 更別忘了, 告訴學生: Read the Book, 並不是件壞事.

由於時間的控制因素, 我們在運算能力的訓練上, 很可能會受到限制. 面臨這個無奈的取捨, 我們嘗試以符號計算軟體作為輔助工具. 在認識了當今這一類軟體的能力之後, 我們該有理由相信, 日後的工程師, 其微積分運算能力的重要性, 就有如昨日的工程師, 其四則運算能力的重要性一般: 不太重要. 當然, 快速而正確的心算能力仍然受到人們讚賞, 但是已經鮮少有人會依此而評斷一個工程師的能力. 纖小而可靠的數值計算器, 使得四則運算在人類智識活動中的定位大為改變. 雖然教育體制仍然堅持學生應該具有四則運算的能力, 但是我們不再以此為主要課題. 人們普遍地相信, 只要給予足夠的時間和紙筆, 一個受過完整教育的人必定能完成一個四則運算的命題---因為他了解計算的方法. 在這個課程中, 我們將電腦軟體放在完全一樣的定位上. 也就是說, 我們將堅持學生具有微積分運算的能力. 透過測驗, 學生必須表現出他了解這些運算的基本方法, 而讓我們相信, 只要給予足夠的時間和紙筆, 他必定能完成一個基本的微積分運算命題. 至於一個工程師在他的專業領域中實際面臨的微積分運算問題, 理應交由電腦處理.

• 多媒體的角色

教材設計的生動和花俏, 是不一樣的. 這一點, 可能沒有人會爭論. 我假設, 每個多媒體電腦輔助教材的設計者, 都希望自己的作品是生動的, 而不是花俏的. 但是, 就好像英勇與愚蠢之間, 雖然人人皆知有一條明顯的界線, 卻常常不知不覺地跨越了這條太沒有屏障作用的界線.

• 網路的角色

在這些核心的設計原則之下, 我們可以將各個主題, 依照目標和深度的不同, 而分解成若干小課題. 每一個小課題可以是一篇獨立的文件. 透過超文 (hypertext) 系統的整合功能, 我們可以預先設計不同目標和深度的學習路徑. 使得初學者可以有一個循序漸進的主要學習路線. 但是, 因為有超文系統的多維度聯結關係, 使用者可以隨時偏離其主要路徑, 而去探索其他的文件, 以增加其知識的深度與廣度 (也可以立刻回到主線).

超文系統和網際網路的結合, 就是眾所皆知的 WWW (World Wide Web). 一個電腦裡面的超文系統, 就可以有許多維度的聯結關係了, 網際網路上多如繁星的電腦, 把它們各自的超文系統更交互聯結在一起, 其維度之高是可以想像的了. 因此, 我同意一位大陸旅美學者在 1992 年為 WWW 做的中文翻譯: 萬維網. 注意, 這三個字的羅馬拼音: Wan4 Wei2 Wang3, 其縮寫字母也是 WWW.

萬維網和人類本身的知識領域, 有著極為漂亮的對應關係. 一片段一片段的事實, 固然是重要的; 但是它們不造成整體的知識. 所謂知識是由事實或理論本身, 以及它們彼此之間的聯結, 所共同組成的. 教育學專家正在多方面地試圖找到更好的教育方法, 使得學生能夠更有效地發現這些聯結性, 並拓展其可聯結的領域. 人類的知識領域, 常常是在已知的領域中發現了新的聯結關係之後, 獲得突破的發展. 例如微分和積分這兩種觀念, 在牛頓和萊布尼茲之前, 老早就分別知道了, 也已經有了不少計算的公式. 卻是一直到了牛頓和萊布尼茲的心裡, 才發現這兩種觀念是有關聯的, 於是開創了我們今天說的微積分這一門影響人類文明致巨的知識領域. 底下我引述一句英文,

Knowledge consists of ideas, or eternal forms, and their great web of connections.
---William McGowen Priestley

既然萬維網和人類本身的知識網路, 有著如此漂亮的對應關係, 那麼以萬維網為基礎架構的教材設計, 會不會比較容易引起學習者的共鳴, 而比較容易產生對片段知識的相互聯結呢? 我個人 (和許多同仁們) 樂觀地認為這很有可能是對的. 有了這個系統, 我們首次有機會將知識以其多維度的聯結關係來呈現, 而不是以書頁的固定線性關係來呈現.

這個目標, 說起來簡單; 要怎麼做, 還不知道. 究竟單變數微積分, 在大學一年級的程度範圍內, 有多少可以分割的小課題, 有多少互相關聯的觀念, 要如何連結這些小課題? 這些都是尚未明朗的問題. 雖然超文系統可以用多維度的聯結關係來呈現知識, 但是時間總是單一維度的 (人一次只能讀一篇文件). 何況, 在複雜的網路中漫遊, 未必是有效的學習方式. 因此, 除了文件與關聯的設計之外, 電腦輔助工具的設計, 也成為一個重要而尚未有明確答案的課題.

我們的設計, 就是安排不同的學習路線. 在這條路線上, 網路教材模擬傳統書本教材的線性關係. 但是我們沿線佈置連結點. 只要讀者願意去探索, 或是授課者願意指引學生去發現, 每個人都可以從主線上讀到整套教材中的每一部分. 目前我們只規劃了兩條示範路線:

• 機械系一學期課程
• 通識教育一學期課程