這是由 Cantor 在 1878 年提出的假設. 在 1900 年被希爾伯特 (Hilbert) 列為 二十三問題的第一號問題. 經過了 Godel 和 Cohen 的工作, 現在我們知道這個假設獨立於目前 (1998) 被普遍接受的集合論公設系統之外. (這個公設系統稱為 ZFC---Zermelo Fraenkel set theory with Axiom of Choice 系統.) 也就是說, 使用現在大家普遍接受的集合論公設, 既不能證明連續統假設是錯誤的, 也不能證明它是正確的. 在這個意義之下, 這個問題算不算是被解決呢?
所謂連續統 (continuum) 就是連續不斷的數. 有理數不成為一個連續統, 因為
要介紹連續統假設,
首先是 Godel 在 1941 年證明了連續統假設與標準的集合論一致; 也就是說, 從標準的集合論公設無法證明連續統假設是錯的. 然後是 Paul Cohen (1934--) 在 1963 年用他發明的 Forcing 方法 (據說 Godel 也有貢獻) 證明了連續統假設的逆敘述也與標準的集合論一致; 也就是說, 從標準的集合論公設無法證明連續統假設是對的. 他因此在 1966 年獲得了費爾茲獎. 既不能證明它是對的, 也不能證明它是錯的, 因此就叫做獨立於公設系統之外.
那麼集合論學家還在做什麼相關的研究呢? 未因此塵埃落定. 某些研究邏輯的數學家還在尋找更直覺的公設, 使得連續統假設在增加了這個公設之後變成可決定的.
網路上有一篇非常好的介紹連續統假設文章, 由 Infinite Ink 公司的 Nancy McGough
撰文文 (事實上 Infinite Ink 公司似乎是由 Nancy 一人組成).
