在 1900 年被希爾伯特 (Hilbert) 列為二十三問題的第一號問題.
經過了 Godel 和 Cohen 的工作,
現在我們知道這個假設獨立於當時 (1963) 的集合論公設系統之外.
也就是說, 使用現在大家普遍接受的集合論公設, 既不能證明連續統假設是錯誤的,
也不能證明它是正確的.
Cantor 是一個冷峻而幽默的人, 他的格調輕鬆簡單卻震憾人心. Cantor set 只是 一個例子, 它告訴你, 你直覺中的實數性質多麼不正確. 這個簡單的例子, 說明 一個有限線段的子集, 可以有不可數多點, 每一點都是 limit point; 它是個閉集, 而且長度是零 (mesure zero).
讓我給大一同學預習幾個簡單的觀念. 若一個集合上可以定義一個一對一的函數到
自然數集合, 則稱為可數. 例如有限的集合可數, 整數的集合可數, 有理數的集合也
可數, 但是實數的集合則不可數. 換句話說, 雖然自然數, 整數, 有理數, 實數
都有無限多, 但是自然數, 整數和有理數其實一樣多, 而實數比他們多. 多出來的,
大家都知道叫作無理數. 例如根號 2. 但是根號 2還比較簡單, 它是一個代數數
(algebraic number). 也就是, 它是一個以整數為係數寫成的多項式的根. 小心,
無限多項的不叫作多項式, 那叫作級數. 非代數數則稱為超越數 (transcendental
number). 十九世紀後葉, 數學家費了九牛二虎之力, 證明了 e 和 pi 是超越數.
當時的氣氛, 認為超越數是極稀有的. 當大家正在想, 還有哪些超越數呢? 這時候,
你看到 Cantor 瀟灑地走來, 兩袖清風, 淡淡的說:
1873 年證明實數不可數, 1878 年提出連續統假設
在 1900 年被希爾伯特 (Hilbert) 列為二十三問題的第一號問題.
經過了 Godel 和 Cohen 的工作,
現在我們知道這個假設獨立於當時 (1963) 的集合論公設系統之外.
也就是說, 使用現在大家普遍接受的集合論公設, 既不能證明連續統假設是錯誤的,
也不能證明它是正確的.
Cantor 的證明簡單得令人瞪目結舌. 他就這樣, 一個人, 靜靜地來, 輕輕地走, 卻把整個局面給翻了過來. 這是我心目中所認識的 Cantor, 他的 style.
Cantor 曾經兩度進入精神療養院. 其中一次是因為受不了 Kronecker
對於他的數學工作之強烈指責. Kronecker 是個很會罵人的人,
就連當時已經是數學泰斗的 Weierstrass
都被他罵得差點兒落淚.
Kronecker 是個極端的建構論者, 他認為所有的數學證明必須是建構性的,
更有甚者, 他認為所有不能用有限多個正整數建構出來的數學物件都不存在.
當然, 根據他的這套想法, Kronecker 認為無理數根本就不存在.
他的一句名言是:
