黎曼假設 Riemann Hypothesis

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這是黎曼 (Riemann) 在 1859 年發表的一個問題. 這個問題本來是起源自數論中質數分佈的研究, 後來發現與許許多多的數學問題等價. 這些故事都超出了我們的能力範圍, 所以在此略過. 讀者如果有意在這方面尋求更多的知識, 我只能建議您閱讀其他的網頁: Caldwell 的質數專頁 (The Prime Page) 中有一段講黎曼假設和質數分佈的文章; Eric 的數學寶櫃中也有一段黎曼假設的說明 ; 在 1995 年的四月一日, Ekhad 發表了一個 ``證明'' (PostScript). 或者, 您應該到數學系選修整數論方面的課程. 總之, 黎曼假設是目前 (1997) 在數學界最著名的一個尚未證明 (亦無反例) 的問題. 底下, 我們在微積分的學生所應理解的範圍內, 談談有關黎曼假設的話題.

首先, 您必須知道什麼叫做無窮級數. 然後我們就可以定義所謂的歐拉 zeta 函數:

其中 n 是大於 1 的正整數. 歐拉 (Euler) 早在 1730 年代就研究了這種無窮級數. 學過微積分的學生都至少知道, 當 n = 1 的時候, 此級數發散. 也就是

, 也應該知道, 當 n > 1 的時候, 此無窮級數是收斂的. 某些人可能還知道

這個等式有很多種不同的證明, 我們這裡提供一種證明. 其實, 歐拉求得了 n = 2, 4, 6, ..., 26 的 zeta 函數值. 其中

而

1978 年的時候, 有人證明了

是個無理數.

學過微積分之後, 我們應該可以輕易地看出來, 前述的歐拉 zeta 函數可以推廣其定義域到 S > 1 的實數:

黎曼所談的 zeta 函數, 現在稱做黎曼 zeta 函數是把其定義域擴展到更大的複數平面. 擴展後的

對所有的複數 s 都有定義 (除了在 s = 1 的地方有個奇異點之外). 當 s 的實數部分 > 1 的時候, 新的

的值和舊的歐拉 zeta 函數的值一致 (這就是所謂擴展的意思). 但是當 s 的實數部分 < 1 的時候, 新的

需要別的定義方式. 在這種新的定義之下, 有某些 s 使得

. 比如說

. 我們稱這些 s 是黎曼 zeta 函數的根. 黎曼假設就是說如果 s 的實數部分介於 0 和 1 之間且 s 是黎曼 zeta 函數的根, 則 s 的實數部分就是 1/2.

Hardy 證明了黎曼 zeta 函數有無窮多個實部為 1/2 的根. 但是他不能證明那些是所有實部為 1/2 的根.