大學入門微積分

課程目標

這份「微課程」的特色與重點是:銜接台灣高中生所學之多項式操作經驗(如綜合除法),闡述微積分與多項式的連結,從而導出討論極限的動機,並指出微分和積分為物理觀念提供的模型,經由此模型直覺地認識微積分基本定理。

這是為了「桃竹苗區域教學資源中心」於西元 2012 年 5 月舉辦的「大學入門」活動而特別錄製的微課程,共十二段影片,全長約 150 分鐘,對象是推甄或申請入學的高三學生;其實程度中上的高中二年級學生就能理解。幾乎每段影片都在 10--15 分鐘之間,方便現場教師選擇性播放,並在播放之後立即補充講解或者做習題。

其實這是一份「興之所致」的錄影,並未特別設計,原本以為只會在桃竹苗地區的「大學入門」活動中播放而已。可是當作者在 2012 年 6 月將它上傳 YouTube 之後,相當意外地獲得熱烈的迴響。2014 年,張鎮華教授將此系列全部看了一遍之後,請台大數學系辦公室通知全體數學系新生,建議他/她們在入學前自己看一遍。

教材列表

教學視頻 時間 文本 自我檢測
什麼是微積分
說明「微積分」一詞的由來,並藉文字來源解釋微積分的意義。
09:00 T01 S01
函數 vs 微分
帶領同學認識函數,並說明學習微分會遇到的第一個數學課題:瞬時速度。以此探討函式與微分的關聯。
13:28 T02 S02
面積 vs 積分
透過面積、函數與極限的概念,解釋積分的意義。並說明在符號上,較為簡易的理解方式。
12:01 T03 S03
多項式函數
介紹二次函數和三次函數的圖形、平移與極值。藉由國高中所學的知識引導同學,並為十七世紀人們所欲解決的問題做鋪陳。
16:08 T04 S04
泰勒展開式與升降冪排列
藉由將降冪標準式轉換為泰勒展開式,以升冪排列,並捨棄高次項,說明在參考點附近的極小區間所呈現的圖形,與微分所代表的意義。
14:22 T05 S05
極小範圍的函數圖形
觀察極小範圍的函數可能會得到的結果。首先以以 1 為參考點的泰勒形式為例,透過升冪排列,並捨棄高次項得到觀察結果。再將觀察範圍推廣至較一般的例子。透過此法,我們將對n次多項式極值所可能發生的區域有部分了解,並進一步帶出微分的功用。
09:42 T06 S06
n 次函數的極值
首先說明 f(x) 在 a 的泰勒一次項係數在 f(x)=xn 時的公式化求法,利用線性性質推廣後,引出微分和導函數的意義。並依此結果,導出 n 次函式發生極值的區域。說明透過微分,我們可以系統化處理 n 次多項式哪裡可能發生極值,並判定它們是極大還是極小,這便是在微分學裡學到的第一組工具。
13:25 T07 S07
極大極小值的判定
藉由觀察 f(x) 在 a 的泰勒二次項係數在 f(x)=xn 時的公式化求法,判定極值是極大還是極小值。
16:21 T08 S08
導數在 a 點的公式解
在推論 f(x) 的導數過程中,說明在 a 點上無解的困境,並解釋以極限定義該點的意義。
10:19 T09 S09
導函數公式的推廣
藉由例題顯示,導函數的公式適用於任意指數 n。
08:24 T10 S10
數學函數 vs 物理運動
透過將物理運動以函式的形式表示,將微分的意義與速度、加速度做連結。以利同學了解微分與物理運動的關聯。
16:01 T11 S11
結語
藉由提供物理實例,說明物理對積分的需求,與微積分對物理的貢獻。也因此可見,微積分對其他科學影響深遠。
09:39 T12 S12

致謝

感謝 2012 年「桃竹苗區域教學資源中心」的夥伴學校支持「大學入門」的活動企畫,特別是中原大學與聯合大學的承辦,使得這一份微課程得以備創造出來。感謝中央大學教學發展中心蔡振瑋先生率領他的團隊錄製這些影片,李明懿教授率領她的學術華語研究團隊,在 2013 年初做出第一份逐字稿,在賴臨安校對之後,再由蔡振瑋製作影片字幕,最後由作者改寫成文本。
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Created: Feb 5, 2022
Last Revised: 24/10/28
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