數學知行識

「知、行、識」是作者建構素養導向之課程設計的核心思想； 對於每一項學習內容，都應該指出學生要知道的概念（知）， 能執行的程序、能解決的典型問題（行），以及為什麼要學它的理由（識）。 此架構之所以能支持數學素養教育（同義於：素養導向的數學教育）， 是因為它培育一般國民平常就能表現出來的數學知識（知），技能（行）， 以及看待數學的態度和鑑賞數學的品味（識）。

什麼是知、行、識？

「知、行、識」不是另外一套課程目標，也不是素養的另一種詮釋， 而是用來設計素養導向之教材與教案的參考架構。 十二年國教總綱的核心素養是一套頗為高明的教育願景， 但是不容易實際作為設計教材教法的指引， 所以數學課程建議使用「知、行、識」三個構念作為教案設計的參考架構。 意思是說，在編撰教材和設計教案的時候， 有意識地思考「知、行、識」三方面的教學目標； 而在教學時（或教學後）， 反省是否妥適安排了屬於「知、行、識」的教學活動？ 如果能夠兼顧這三方面的目標，則比較容易設計出「理想的」數學教學活動， 也比較容易達成「素養導向」的願景。 以下短文以「負數」的教學為例，說明「知行識」課程架構的用法。

• 什麼是「知、行、識」？ (3 頁 pdf 文件)

數學語用

數學是一種語言，在很多情況下（幾乎所有的中小學數學）， 只要把話都確實說清楚了，數學就做完了。 在數學的教與學過程中所遭遇的障礙，有些是真正的數學概念， 有些只是溝通的問題而已。 這裡舉出一些關於數學話語的例子。

「角」的單位

有人指責「圓周長公式」與高中「弧長公式」不符合「單位」一致性， 進一步主張國中「弧度」的教學有錯。其實這些指責都是「語言」造成的誤會。 由此可見，準確的語用非常重要啊。 簡單說，議者所謂的「單位」是俗稱為單位的量綱， 而不是測量單位：此「單位」非彼「單位」， 不幸都被說成「單位」，就造成誤會了。 文中介紹兩種測量曲線的工具。

國中數學語用商榷

最近教育圈「覺察」一個新議題：教師覺察力（teachers noticing）。 這是「識」的相關概念──教師要能覺察自己的教學（語言）是否讓學生「有感」？ 特別要覺察自己是否說了學生聽過之後無法產生意義（making no sense）的話語？ 這個觀念，跟作者從「設計思考」引進「同理心」，請教師站在學生立場想像她／他收到什麼訊息，是一貫的想法。 這篇短文集結作者所覺察的國中階段有待商榷的教學習慣用語。

連續函數

一位李老師問：像 |x|/x 這種函數，某版高中課本教師手冊說它在 x=0 處不連續， 但某教授在研習時，說 0 不在它的定義域內，所以不討論它在 x=0 是否連續。 怎麼解釋？其實，數學話語經常遇到的像這樣的「小麻煩」， 只是大家若不留意就一晃而過了。 例如有時候書上說 tan(x) 是連續函數，有時候又說 tan(x) 在 x=pi/2 處不連續。 有人說這些是「定義」問題，我倒認為說「定義」太沉重，它只是語言上的約定問題。

「負」非「減」

民國 110 年 3、4 月連續出版了兩篇呼應「數學作為一種語言」並以「語言」 作為數學的教學切入點的研究論文，其中一篇 〈符號語言學作為數學的教學進路初探—─以負數的概念模型譬喻為例〉 由本人及陳玉芬老師所作。 此文介紹了與數學教學法相關的「符號語言學」概念， 以負數的教學為例，舉出的關鍵點之一是「『負』非『減』」。

數學話語／小學四邊形

民國 110 年 3、4 月連續出版了兩篇呼應「數學作為一種語言」並以「語言」 作為數學的教學切入點的研究論文，其中一篇是陳嘉皇教授發表的 〈數學學術素養：數學話語在課程與教學上的應用〉。 此文以文獻回顧的方式介紹了「數學學術素養」、「數學話語」、「數學詞彙」 這三個關鍵詞，然後轉以小學四年級「四邊形」單元的教學活動為例， 檢視其實踐「數學話語」的情形。

數學教「識」

數學課堂中「知」與「行」的教學活動，通常份量充足，成效良好。 我國學生在國際評量的平均表現名列前茅，即為明證。 筆者提出幾個課題，試圖為「識」的教學需求與教材教法，舉出一些實例。 其中一個基本課題是「負數」，已經在前文舉例。

三角本事 — 弦表：三角函數的真諦

拋物線的故事說明古希臘數學「並沒有不重實用」，托勒密的弦表則正面表示古希臘也有「超級實用的數學」。弦表不但是最早的函數觀念，也具體呈現了三角函數的真諦 (sin、tan 等)。作者想說的並不是數學史，而是歷史對數學教育的啟發，特別要闡明「角」與「三角」真正應該學習的素養。

拋物線本事 — 文化觀點

拋物線的故事，說了再說。這一篇「本事」，藉拋物線這個具體的例子，帶讀者一起想像希臘人的數學具有「酬神」的「實用」價值，由此文化背景的想像，我們或許可以「理解」希臘人堅持「尺規作圖」的理由。這篇「本事」也試圖闡明「拋物線」跟國中、高中數學課程相關的詞彙淵源。

負負得正 — 數學文化、CK 與 PCK

我尊敬的前輩張進成老師，今年 5 月 17 日在 Facebook「金門高中張進成數學社」再度提起「負負得正」的話題。他「嚴肅地」證明了這個命題，以反駁稍早有人說它「不可證」的看法。即使張老師已經「證成」了這個命題，我還是想再多寫一點：從數學文化說起，然後以此議題為例，銜接主流數學知識 (CK) 與學校數學知識 (PCK)，並且分享兩種教學的技術（教法）。

由極限計算導數的程序

一位高老師問：當 h 趨近於 0，求 (f(x+3h)-f(x))/ h 的極限時， 當學生已經轉換形式為 (f(x+3h)-f(x))/(3h) 之後， 應該要寫 h 趨近於 0 還是 3h 趨近於 0？ 這是一個典型「知難行易」的例子：程序性的操作很容易模仿與執行， 但不容易明白「為何要這樣做？」，因此不容易記住，很容易重複犯錯。

識能評量──以 7 年級「分數」為例

評量是課程不可分割之一部分，不但反應學生的學習成果， 也會影響到學生未來發展的公平性與合宜性。 適當的素養導向評量可落實課綱目標的達成， 它也成為各界關心 108 課綱的一個議題。 本文聚焦於「識」之向度，即對於知識的理解、連結、詮釋的評量， 稱之為「識能評量」。 作者先解釋選取 7 年級「分數」課題作為範例的理由， 然後簡述分數主題的課綱設計理念，藉以提出數學識能評量的規準建議。