數學知行識

「知、行、識」是作者建構素養導向之課程設計的核心思想; 對於每一項學習內容,都應該指出學生要知道的概念(知), 能執行的程序(行),以及為什麼要學它的理由(識)。 此架構之所以能支持數學素養教育(同義於:素養導向的數學教育), 是因為它為一般國民培育平常就能表現出來的數學知識(知),技能(行), 以及看待數學的態度和鑑賞數學的品味(識)。

什麼是知、行、識?

「知、行、識」不是另外一套課程目標,也不是素養的另一種詮釋, 而是用來設計素養導向之教材與教案的參考架構。 十二年國教總綱的核心素養是一套頗為高明的教育願景, 但是不容易實際作為設計教材教法的指引, 所以數學課程建議使用「知、行、識」三個構念作為教案設計的參考架構。 意思是說,在編撰教材和設計教案的時候, 有意識地思考「知、行、識」三方面的教學目標; 而在教學時(或教學後), 反省是否妥適安排了屬於「知、行、識」的教學活動? 如果能夠兼顧這三方面的目標,則比較容易設計出「理想的」數學教學活動, 也比較容易達成「素養導向」的願景。 以下短文以「負數」的教學為例,說明「知行識」課程架構的用法。

數學語用

數學是一種語言,在很多情況下(幾乎所有的中小學數學), 只要把話都確實說清楚了,數學就做完了。 在數學的教與學過程中所遭遇的障礙,有些是真正的數學概念, 有些只是溝通的問題而已。 這裡舉出一些關於數學話語的例子。
連續函數
一位李老師問:像 |x|/x 這種函數,某版高中課本教師手冊說它在 x=0 處不連續, 但某教授在研習時,說 0 不在它的定義域內,所以不討論它在 x=0 是否連續。 怎麼解釋?其實,數學話語經常遇到的像這樣的「小麻煩」, 只是大家若不留意就一晃而過了。 例如有時候書上說 tan(x) 是連續函數,有時候又說 tan(x) 在 x=pi/2 處不連續。 有人說這些是「定義」問題,我倒認為說「定義」太沉重,它只是語言上的約定問題。

「負」非「減」
民國 110 年 3、4 月連續出版了兩篇呼應「數學作為一種語言」並以「語言」 作為數學的教學切入點的研究論文,其中一篇 〈符號語言學作為數學的教學進路初探—─以負數的概念模型譬喻為例〉 由本人及陳玉芬老師所作。 此文介紹了與數學教學法相關的「符號語言學」概念, 以負數的教學為例,舉出的關鍵點之一是「『負』非『減』」。

數學話語/小學四邊形
民國 110 年 3、4 月連續出版了兩篇呼應「數學作為一種語言」並以「語言」 作為數學的教學切入點的研究論文,其中一篇是陳嘉皇教授發表的 〈數學學術素養:數學話語在課程與教學上的應用〉。 此文以文獻回顧的方式介紹了「數學學術素養」、「數學話語」、「數學詞彙」 這三個關鍵詞,然後轉以小學四年級「四邊形」單元的教學活動為例, 檢視其實踐「數學話語」的情形。

數學教「識」

數學課堂中「知」與「行」的教學活動,通常份量充足,成效良好。 我國學生在國際評量的平均表現名列前茅,即為明證。 筆者提出幾個課題,試圖為「識」的教學需求與教材教法,舉出一些實例。 其中一個基本課題是「負數」,已經在前文舉例。
由極限計算導數的程序
一位高老師問:當 h 趨近於 0,求 (f(x+3h)-f(x))/ h 的極限時, 當學生已經轉換形式為 (f(x+3h)-f(x))/(3h) 之後, 應該要寫 h 趨近於 0 還是 3h 趨近於 0? 這是一個典型「知難行易」的例子:程序性的操作很容易模仿與執行, 但不容易明白「為何要這樣做?」,因此不容易記住,很容易重複犯錯。
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Created: Oct 1, 2020
Last Revised: 21-03-11
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