本課程以高中一年級之多項函數為基礎,搭配高中數學必修課程中的直線、圓、指數與對數學習內容,帶領學生習得基本的微分與積分概念、理論、操作與應用,並藉以認識微積分的一般性原理與思考方法。先修的內容,可以在大學微積分課程之前,提供大一物理、化學、經濟學、統計學等專業課程之所需,並為大學微積分課程奠定基礎。
週 | 號 | 教學視頻 | 時間 | 文本 | 自我檢測 |
1 | 專錄 111 課程導入 | 03:33 | 111-01 | ||
專錄 106 快樂學習磨課師 | 02:41 | 106-01 | |||
拾級一 1 微積分是什麼 | 09:00 | 1-01 | chk1-01 | ||
作業 1 函數觀念(複習) | |||||
2 | 基礎數學 14 安裝 Maxima [電腦] | 08:06 | 0-14 | chk0-14 | |
基礎數學 15 Maxima 入門 [電腦] | 07:04 | 0-15 | chk0-15 [填] | ||
基礎數學 16 Desmos 入門 [電腦] | 08:02 | 0-16 | chk0-16 | ||
基礎數學 3 綜合除法 [複習] | 10:12 | 0-03 | chk0-03 | ||
基礎數學 4 函數圖形 [複習] | 06:20 | 0-04 | chk0-04 | ||
作業 2 函數圖形(用電腦) | |||||
3 | 拾級一 2 泰勒多項式 | 18:04 | 1-02 | chk1-02 | |
拾級一 3 多項式函數的局部圖形像直線 | 06:38 | 1-03 | chk1-03 | ||
拾級一 4 泰勒形式意在估計 | 12:38 | 1-04 | chk1-04 | ||
拾級一 5 多項式函數的切線與導數 | 07:09 | 1-05 | chk1-05 | ||
作業 3 泰勒多項式與切線 | |||||
4 | 拾級一 6 導數基本公式 | 09:27 | 1-06 | chk1-06 | |
拾級一 7 導數的係數積與加減 | 14:06 | 1-07 | chk1-07 | ||
拾級一 8 微分與導函數 | 08:12 | 1-08 | chk1-08 | ||
商管應用 035 微分的係數積法則 [補充] | 08:45 | K035 | K035 | ||
商管應用 036 微分的加法性質 [補充] | 13:03 | K036 | K036 | ||
拾級一 9 計算導數與導函數 [電腦] | 11:34 | 1-09 | chk1-09 | ||
作業 4 多項式的導數與導函數 | |||||
5 | 拾級一 10 多項式函數的增減 | 14:48 | 1-10 | chk1-10 | |
拾級一 11 相對極值 | 13:37 | 1-11 | chk1-11 | ||
拾級一 12 當泰勒一次項消失時 | 13:03 | 1-12 | chk1-12 | ||
拾級一 13 求多項式極值的一般性方法 | 16:54 | 1-13 | chk1-13 | ||
拾級一 14 多項式極值的應用示範 | 12:42 | 1-14 | chk1-14 [填] | ||
作業 5 多項式函數的增減與極值 | |||||
6 | 拾級一 15 導數的極限記號 | 10:39 | 1-15 | chk1-15 | |
拾級一 16 多項式的極限運算 | 09:35 | 1-16 | chk1-16 | ||
拾級一 17 導數的極限定義 | 13:12 | 1-17 | chk1-17 | ||
拾級一 18 導函數的極限定義 | 09:54 | 1-18 | chk1-18 | ||
作業 6 函數極限與最佳化問題 | |||||
7 | 拾級一 19 推廣的微分基本公式 | 19:04 | 1-19 | chk1-19 | |
拾級一 20 代數函數之微分示範 | 10:37 | 1-20 | chk1-20 | ||
商管應用 127 反比函數之應用範例 [補充] | K127 | 無測驗 | |||
拾級一 21 微分乘法律 | 08:29 | 1-21 | chk1-21 | ||
拾級一 22 微分乘法律的證明 | 08:33 | 1-22 | 無測驗 | ||
作業 7 推廣的微分基本公式 | |||||
8 | 拾級一 23 擴張的微分基本公式 | 11:39 | 1-23 | chk1-23 | |
拾級一 24 切線與一次估計 | 12:33 | 1-24 | chk1-24 | ||
拾級一 25 一次估計示例:複利規則 | 07:59 | 1-25 | chk1-25 | ||
拾級一 26 高階導數 | 14:58 | 1-26 | chk1-26 | ||
拾級一 27 用微分計算泰勒多項式 | 14:24 | 1-27 | chk1-27 | ||
作業 8 一次估計與高階導數 | |||||
9 | 拾級一 28 微分連鎖律 | 07:12 | 1-28 | chk1-28 | |
拾級一 29 微分連鎖律的證明 | 13:00 | 1-29 | 無測驗 | ||
拾級一 30 微分除法律 | 04:59 | 1-30 | chk1-30 | ||
拾級一 31 極限的逼近意涵 | 06:53 | 1-31 | chk1-31 [填] | ||
作業 9 微分乘法、除法、連鎖律 | |||||
10 | 拾級一 33 三次多項式函數的圖形 | 14:16 | 1-33 | chk1-33 | |
拾級一 34 當泰勒二次項消失時:反曲點 | 13:48 | 1-34 | chk1-34 | ||
拾級一 35 少數的意外狀況 | 11:06 | 1-35 | chk1-35 | ||
作業 10 數值極限與三次函數圖形 | |||||
11 | 拾級一 36 萊布尼茲符號 | 10:14 | 1-36 | chk1-36 | |
拾級一 37 微量符號用於估計 | 08:34 | 1-37 | chk1-37 | ||
拾級一 38 導數的單位與速度意涵 | 11:04 | 1-38 | chk1-38 | ||
拾級一 39 導數的邊際意涵 | 10:42 | 1-39 | chk1-39 | ||
拾級一 40 邊際利潤範例 | 03:33 | 1-40 | chk1-40 | ||
拾級一 44 積分 | 15:08 | 1-44 | chk1-44 | ||
12 | 拾級一 45 反導函數 | 07:43 | 1-45 | chk1-45 | |
拾級一 46 積分基本公式 | 11:35 | 1-46 | chk1-46 | ||
拾級一 47 自由落體 | 10:31 | 1-47 | chk1-47 | ||
拾級一 48 微積分基本定理 | 12:12 | 1-48 | chk1-48 | ||
拾級一 49 定積分的總量意涵 | 10:34 | 1-49 | chk1-49 | ||
13 | 拾級一 50 定積分的面積意涵 | 11:40 | 1-50 | chk1-50 | |
拾級一 51 弓形面積 | 11:50 | 1-51 | chk1-51 | ||
拾級一 52 積分的計算 [電腦] | 10:46 | 1-52 | chk1-52 [填] | ||
拾級一 53 曲線間的面積 | 11:30 | 1-53 | chk1-53 | ||
拾級一 54 供需平衡 | 14:43 | 1-54 | chk1-54 | ||
拾級一 55 連續函數值的平均 | 10:14 | 1-55 | chk1-55 | ||
14 | 拾級一 56 代換積分法 | 08:34 | 1-56 | chk1-56 | |
拾級一 57 直方圖 | 20:19 | 1-57 | chk1-57 | ||
拾級一 58 機率密度函數 | 13:46 | 1-58 | chk1-58 | ||
拾級一 59 定積分的機率意涵 | 11:36 | 1-59 | chk1-59 | ||
拾級一 60 圓的面積 | 03:32 | 1-60 | chk1-60 | ||
拾級一 61 球的體積 | 07:29 | 1-61 | chk1-61 | ||
拾級一 62 球的表面積 | 06:47 | 1-62 | chk1-62 | ||
15 | 拾級二 1 連續複利的年增率 | 13:36 | 2-01 | chk2-01 | |
拾級二 2 指函數的微分 | 07:26 | 2-02 | chk2-02 | ||
拾級二 3 標準指函數及其微分 | 08:25 | 2-03 | chk2-03 | ||
拾級二 4 標準指函數的反導函數 | 04:25 | 2-04 | chk2-04 | ||
基礎數學 12 函數與反函數上 | 06:47 | 0-12 | chk0-12 | ||
基礎數學 13 函數與反函數下 | 14:30 | 0-13 | chk0-13 | ||
16 | 拾級二 5 反函數的微分 | 09:16 | 2-05 | chk2-05 | |
基礎數學 6 對數 [複習] | 12:08 | 0-06 | chk0-06 | ||
拾級二 6 自然對數與一般指數的微分 | 09:16 | 2-06 | chk2-06 | ||
拾級二 7 對數律 | 03:23 | 2-07 | chk2-07 | ||
拾級二 8 自然對數的圖形與微分 | 08:07 | 2-08 | chk2-08 | ||
拾級二 9 計算指對數 [電腦] | 03:09 | 2-09 | chk2-09 [填] | ||
17 | 拾級二 10 指對數的微分應用 | 14:39 | 2-10 | chk2-10 | |
拾級二 12 指數與對數的積分 | 07:25 | 2-12 | chk2-12 | ||
拾級二 13 指對數的微積分計算 [電腦] | 10:28 | 2-13 | chk2-13 [填] | ||
拾級二 14 反比函數的積分 | 06:42 | 2-14 | chk2-14 | ||
18 | 拾級一 41 相關變化率 | 09:21 | 1-41 | chk1-41 | |
拾級一 42 相關變化率範例─吹氣球 | 09:12 | 1-42 | chk1-42 | ||
拾級二 15 有理函數的反導函數一 | 13:44 | 2-15 | chk2-15 | ||
拾級二 16 有理函數的微積分計算 [電腦] | 06:12 | chk2-16 [填] | |||
拾級二 17 無窮遠處的極限 | 09:26 | 2-17 | chk2-17 | ||
拾級二 18 有理函數的圖形 | 05:18 | 2-18 | chk2-18 | ||
拾級二 19 有理函數的無窮遠處極限 | 12:11 | 2-19 | chk2-19 | ||
拾級二 20 有理函數的鉛直漸近線 | 14:47 | 2-20 | chk2-20 | ||
拾級二 21 斜漸近線 | 09:06 | 2-21 | chk2-21 | ||
拾級二 22 有理函數之繪圖 [電腦] | 11:02 | chk2-22 | |||
拾級二 23 無窮大的運算 | 11:06 | 2-23 | chk2-23 | ||
拾級二 24 指對數函數的極限 | 06:27 | 2-24 | chk2-24 | ||
拾級二 25 不定形式 | 06:26 | 2-25 | chk2-25 | ||
拾級二 26 羅必達法則 | 15:50 | 2-26 | chk2-26 | ||
拾級二 27 不定形式的極限 | 07:31 | 2-27 | chk2-27 | ||
拾級二 28 無窮大比大小 | 15:26 | chk2-28 | |||
拾級二 29 涉及無窮的函數極限 [電腦] | 10:50 | chk2-29 |
完全自學的讀者,可以自由取閱以上教材並做自我檢測。 抱歉目前無法提供參考解答,也沒有辦法發放證書。如果想要在高中開課,並且讓學生獲得中央大學的修課證明與成績單,請往下讀。 首先,必須有至少一名高中數學教師願意負責該校的開課事宜。
- 在高中,可能有三種開課模式:
請教師自行決定模式,並與校內同仁一起完成開課程序。
- 指導學生自主學習,
- 開設多元選修課程,
- 以課後輔導形式進行。
- 民國 111 學年第一學期交給中央大學遠距教學委員會的「教學計畫提報大綱」供高中教師參考(pdf 文件)。
- 如果在一年級下學期開課,可調整學習內容到第 14 週止(僅有多項式微積分)。
- 如果在二年級開課,可以加上指對函數的學習內容,學到第 17 週止。
- 不建議在一年級上學期開課。
- 第 18 週各單元,可留給學生自學,或者適度加入課程。
- 在每年 5 月或 11 月之後,來信通知本人(shann@math.ncu.edu.tw),提出下個學期的開課意願。
- 本人將告知當時中央大學的業務承辦人。
- 製作修課學生名冊(空白表格如下),完成校內用印,向中央大學(教務處)推薦高中學生以「社會人士」身分選修此網路課程。
- 空白名冊:「高中生修讀推薦彙整表」(Excel 文件)。
- 代收中央大學網路課程報名費每人 200 元,轉帳繳款,取得收據,交給承辦人。
- 收款時間 : 約 10 月初,將由中央大學發文至高中。
- 收款方式 : 匯入本校 401 專戶(另有 30 元匯費需自付)
- 收據抬頭 : 會開立貴校名稱,若需註明班級,再請告知。
- 學期後段,應安排一次實體課,使本人與修課同學見一次面,順便拍照留念(這是課務組要留存備查的),並發放中央大學教學評量表。所謂「教學評量」是針對本人網路課程品質的評量,不是針對高中教師的。
- 期末考由本人命題,請高中同仁監試並寄回試卷。期末試卷並不發回。
- 決定學期成績之後,可從中央大學獲取成績單。〔詳細程序待查〕
這個 2 學分選修網路課程是《微積分拾級》的一個應用。自 2014 年春季起,此課程透過「桃竹苗區教學資源中心」的推廣,在全國許多高中的三年級實施過,且都實施於第二學期,提供給推甄或申請入學的準大學生。我要感謝高教司的「區域教學資源中心」計畫支持此案,也感謝當時中央大學的蔣偉寧校長、李光華教務長賦予我執行此計畫的機會,更感謝那些年在中央大學、玄奘大學的團隊同仁們,特別是直接負責「微積分題庫」的賴臨安,她當真是殫精竭慮,把自己的健康都弄壞了。當我在 2022 年初整理這些教材的時候,一再感慨我們當年做了多繁的事,而她幫了多大的忙!這門網路課程在 2017 年獲得教育部「磨課師標竿課程」獎。但是高教司的「教學資源中心」計畫也在那年轉型了,這門線上課程因此暫停。而我自己則投入了 108 課綱,使得微積分的教材製作與課程推廣都擱置了。接下來就得感謝高晟鈞老師,他設計並且打通了將這門課程引進永春高中的辦法,使得它獲得新生的機會。在 2019 至 2021 年間,沿用上述模式的「微積分先修」課程,在臺北市永春高中、大直高中、大同高中實施過五個學期,主要授課對象是高中二年級學生,但也有少數高三學生選修,在第一或第二學期皆曾開課。這門課程建構出大學與高中合作的一種模式。
接下來就要感謝葉永烜院士,他再一次提供資源和園地給我,讓我認真地重整 2014-17 年間執行的微積分教材、題庫、課程計畫,具體的成果就是整理出這張網頁,以及它的上層網頁。
事實上,這門課程不是全網路的,而是「虛實整合」的非同步遠距課程設計。簡單說,高中端必須有數學教師負責開課,當地教師要做的事情可多可少:
因為這是中央大學數學系正式開設的「微積分先修」2 學分選修網路課程,高中生可以用「社會人士選修」的方式註冊,中央大學目前不向高中生收學費,僅收取報名費 200 元。學期結束後,若成績及格,學生將會獲得中央大學的「修課證明書」(不另收費),將來進入大學可依該校規定提出學分認抵。若是進入中央大學,則可以認抵「微積分先修」2 學分,至於其他大學則需要找到適合認抵的課程。
- 至少要負責整理學籍資料,收費,定期小考,以及期末考的監考,並計算部份成績;
- 若要教得更多,則可以每週上課,在課堂內解答疑問,或補充教學。
民國 112 年 1 月初,也就是 111-1 的期末考閱卷之後,我決定放棄「相關變化率」,把它移到第 18 週,成為自修教材。原因是:經過四年的測試,不論幾年級的高中生都很難寫出「相關變化率」那一題;以前,每屆學生偶有兩三位可以回答該題,但 111-1 這一屆卻全都不能作答。因此,我反而認為這裡有兩個研究問題:
- 高中學生是否難以習得「相關變化率」?如果是,關鍵難點何在?如果否,教學關鍵點何在?
- 大學一年級學生是否在「相關變化率」評量試題表現較弱?如果是,怎樣的教學介入可有效改善學習表現?如果否,大一和高中學生數學能力的主要差異何在?