微積分先修

課程目標

本課程以高中一年級之多項函數為基礎,搭配高中數學必修課程中的直線、圓、指數與對數學習內容,帶領學生習得基本的微分與積分概念、理論、操作與應用,並藉以認識微積分的一般性原理與思考方法。先修的內容,可以在大學微積分課程之前,提供大一物理、化學、經濟學、統計學等專業課程之所需,並為大學微積分課程奠定基礎。

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教材列表

教學視頻 時間 文本 自我檢測
1 專錄 111 課程導入 03:33
111-01
專錄 106 快樂學習磨課師 02:41
106-01
拾級一 1 微積分是什麼 09:00 1-01 chk1-01
2 基礎數學 14 安裝 Maxima [電腦] 08:06 0-14 chk0-14
基礎數學 15 Maxima 入門 [電腦] 07:04 0-15 chk0-15 [填]
基礎數學 16 Desmos 入門 [電腦] 08:02 0-16 chk0-16
基礎數學 3 綜合除法 [複習] 10:12 0-03 chk0-03
基礎數學 4 函數圖形 [複習] 06:20 0-04 chk0-04
3 拾級一 2 泰勒多項式 18:04 1-02 chk1-02
拾級一 3 多項式函數的局部圖形像直線 06:38 1-03 chk1-03
拾級一 4 泰勒形式意在估計 12:38 1-04 chk1-04
拾級一 5 多項式函數的切線與導數 07:09 1-05 chk1-05
拾級一 6 導數基本公式 09:27 1-06 chk1-06
4 拾級一 7 導數的係數積與加減 14:06 1-07 chk1-07
拾級一 8 微分與導函數 08:12 1-08 chk1-08
商管應用 035 微分的係數積法則 [補充] 08:45 K035 K035
商管應用 036 微分的加法性質 [補充] 13:03 K036 K036
拾級一 9 計算導數與導函數 [電腦] 11:34 1-09 chk1-09
拾級一 10 多項式函數的增減 14:48 1-10 chk1-10
拾級一 11 相對極值 13:37 1-11 chk1-11
5 拾級一 12 當泰勒一次項消失時 13:03 1-12 chk1-12
拾級一 13 求多項式極值的一般性方法 16:54 1-13 chk1-13
拾級一 14 多項式極值的應用示範 12:42 1-14 chk1-14 [填]
6 拾級一 15 導數的極限記號 10:39 1-15 chk1-15
拾級一 16 多項式的極限運算 09:35 1-16 chk1-16
拾級一 17 導數的極限定義 13:12 1-17 chk1-17
拾級一 18 導函數的極限定義 09:54 1-18 chk1-18
7 拾級一 19 推廣的微分基本公式 19:04 1-19 chk1-19
拾級一 20 代數函數之微分示範 10:37 1-20 chk1-20
商管應用 127 反比函數之應用範例 [補充]
K127 無測驗
拾級一 21 微分乘法律 08:29 1-21 chk1-21
拾級一 22 微分乘法律的證明 08:33 1-22 無測驗
8 拾級一 23 擴張的微分基本公式 11:39 1-23 chk1-23
拾級一 24 切線與一次估計 12:33 1-24 chk1-24
拾級一 25 一次估計示例:複利規則 07:59 1-25 chk1-25
拾級一 26 高階導數與泰勒係數 14:58 1-26 chk1-26
拾級一 27 用微分計算泰勒多項式 14:24 1-27 chk1-27
9 拾級一 28 微分連鎖律 07:12 1-28 chk1-28
拾級一 29 微分連鎖律的證明 13:00 1-29 無測驗
拾級一 30 微分除法律 04:59 1-30 chk1-30
拾級一 31 極限的逼近意涵 06:53 1-31 chk1-31 [填]
10 拾級一 33 三次多項式函數的圖形 14:16 1-33 chk1-33
拾級一 34 當泰勒二次項消失時:反曲點 13:48 1-34 chk1-34
拾級一 35 少數的意外狀況 11:06 1-35 chk1-35
拾級一 36 萊布尼茲符號 10:14 1-36 chk1-36
11 拾級一 37 微量符號用於估計 08:34 1-37 chk1-37
拾級一 38 導數的單位與速度意涵 11:04 1-38 chk1-38
拾級一 39 導數的邊際意涵 10:42 1-39 chk1-39
拾級一 40 邊際利潤範例 03:33 1-40 chk1-40
拾級一 44 積分 15:08 1-44 chk1-44
12 拾級一 45 反導函數 07:43 1-45 chk1-45
拾級一 46 積分基本公式 11:35 1-46 chk1-46
拾級一 47 自由落體 10:31 1-47 chk1-47
拾級一 48 微積分基本定理 12:12 1-48 chk1-48
拾級一 49 定積分的總量意涵 10:34 1-49 chk1-49
13 拾級一 50 定積分的面積意涵 11:40 1-50 chk1-50
拾級一 51 弓形面積 11:50 1-51 chk1-51
拾級一 52 積分的計算 [電腦] 10:46 1-52 chk1-52 [填]
拾級一 53 曲線間的面積 11:30 1-53 chk1-53
拾級一 54 供需平衡 14:43 1-54 chk1-54
拾級一 55 連續函數值的平均 10:14 1-55 chk1-55
14 拾級一 56 代換積分法 08:34 1-56 chk1-56
拾級一 57 直方圖 20:19 1-57 chk1-57
拾級一 58 機率密度函數 13:46 1-58 chk1-58
拾級一 59 定積分的機率意涵 11:36 1-59 chk1-59
拾級一 60 圓的面積 03:32 1-60 chk1-60
拾級一 61 球的體積 07:29 1-61 chk1-61
拾級一 62 球的表面積 06:47 1-62 chk1-62
15 拾級二 1 連續複利的年增率 13:36 2-01 chk2-01
拾級二 2 指函數的微分 07:26 2-02 chk2-02
拾級二 3 標準指函數及其微分 08:25 2-03 chk2-03
拾級二 4 標準指函數的反導函數 04:25 2-04 chk2-04
基礎數學 12 函數與反函數上 06:47 0-12 chk0-12
基礎數學 13 函數與反函數下 14:30 0-13 chk0-13
16 拾級二 5 反函數的微分 09:16 2-05 chk2-05
基礎數學 6 對數 [複習] 12:08 0-06 chk0-06
拾級二 6 自然對數與一般指數的微分 09:16 2-06 chk2-06
拾級二 7 對數律 03:23 2-07 chk2-07
拾級二 8 自然對數的圖形與微分 08:07 2-08 chk2-08
拾級二 9 計算指對數 [電腦] 03:09 2-09 chk2-09 [填]
17 拾級二 10 指對數的微分應用 14:39 2-10 chk2-10
拾級二 12 指數與對數的積分 07:25 2-12 chk2-12
拾級二 13 指對數的微積分計算 [電腦] 10:28 2-13 chk2-13 [填]
拾級二 14 反比函數的積分 06:42 2-14 chk2-14
18 拾級一 41 相關變化率 09:21 1-41 chk1-41
拾級一 42 相關變化率範例─吹氣球 09:12 1-42 chk1-42
拾級二 15 有理函數的反導函數一 13:44 2-15 chk2-15
拾級二 16 有理函數的微積分計算 [電腦] 06:12
chk2-16 [填]
拾級二 17 無窮遠處的極限 09:26 2-17 chk2-17
拾級二 18 有理函數的圖形 05:18 2-18 chk2-18
拾級二 19 有理函數的無窮遠處極限 12:11 2-19 chk2-19
拾級二 20 有理函數的鉛直漸近線 14:47 2-20 chk2-20
拾級二 21 斜漸近線 09:06 2-21 chk2-21
拾級二 22 有理函數之繪圖 [電腦] 11:02
chk2-22
拾級二 23 無窮大的運算 11:06 2-23 chk2-23
拾級二 24 指對數函數的極限 06:27 2-24 chk2-24
拾級二 25 不定形式 06:26 2-25 chk2-25
拾級二 26 羅必達法則 15:50 2-26 chk2-26
拾級二 27 不定形式的極限 07:31 2-27 chk2-27
拾級二 28 無窮大比大小 15:26
chk2-28
拾級二 29 涉及無窮的函數極限 [電腦] 10:50
chk2-29

高中開課準備

完全自學的讀者,可以自由取閱以上教材並做自我檢測。 抱歉目前無法提供參考解答,也沒有辦法發放證書。

如果想要在高中開課,並且讓學生獲得中央大學的修課證明與成績單,請往下讀。 首先,必須有至少一名高中數學教師願意負責該校的開課事宜。

記事

這個 2 學分選修網路課程是《微積分拾級》的一個應用。自 2014 年春季起,此課程透過「桃竹苗區教學資源中心」的推廣,在全國許多高中的三年級實施過,且都實施於第二學期,提供給推甄或申請入學的準大學生。我要感謝高教司的「區域教學資源中心」計畫支持此案,也感謝當時中央大學的蔣偉寧校長、李光華教務長賦予我執行此計畫的機會,更感謝那些年在中央大學、玄奘大學的團隊同仁們,特別是直接負責「微積分題庫」的賴臨安,她當真是殫精竭慮,把自己的健康都弄壞了。當我在 2022 年初整理這些教材的時候,一再感慨我們當年做了多繁的事,而她幫了多大的忙!

這門網路課程在 2017 年獲得教育部「磨課師標竿課程」獎。但是高教司的「教學資源中心」計畫也在那年轉型了,這門線上課程因此暫停。而我自己則投入了 108 課綱,使得微積分的教材製作與課程推廣都擱置了。接下來就得感謝高晟鈞老師,他設計並且打通了將這門課程引進永春高中的辦法,使得它獲得新生的機會。在 2019 至 2021 年間,沿用上述模式的「微積分先修」課程,在臺北市永春高中、大直高中、大同高中實施過五個學期,主要授課對象是高中二年級學生,但也有少數高三學生選修,在第一或第二學期皆曾開課。這門課程建構出大學與高中合作的一種模式。

接下來就要感謝葉永烜院士,他再一次提供資源和園地給我,讓我認真地重整 2014-17 年間執行的微積分教材、題庫、課程計畫,具體的成果就是整理出這張網頁,以及它的上層網頁。

事實上,這門課程不是全網路的,而是「虛實整合」的非同步遠距課程設計。簡單說,高中端必須有數學教師負責開課,當地教師要做的事情可多可少:

因為這是中央大學數學系正式開設的「微積分先修」2 學分選修網路課程,高中生可以用「社會人士選修」的方式註冊,中央大學目前不向高中生收學費,僅收取報名費 200 元。學期結束後,若成績及格,學生將會獲得中央大學的「修課證明書」(不另收費),將來進入大學可依該校規定提出學分認抵。若是進入中央大學,則可以認抵「微積分先修」2 學分,至於其他大學則需要找到適合認抵的課程。

民國 112 年 1 月初,也就是 111-1 的期末考閱卷之後,我決定放棄「相關變化率」,把它移到第 18 週,成為自修教材。原因是:經過四年的測試,不論幾年級的高中生都很難寫出「相關變化率」那一題;以前,每屆學生偶有兩三位可以回答該題,但 111-1 這一屆卻全都不能作答。因此,我反而認為這裡有兩個研究問題:

  1. 高中學生是否難以習得「相關變化率」?如果是,關鍵難點何在?如果否,教學關鍵點何在?
  2. 大學一年級學生是否在「相關變化率」評量試題表現較弱?如果是,怎樣的教學介入可有效改善學習表現?如果否,大一和高中學生數學能力的主要差異何在?

開課記錄

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Created: Jan 26, 2022
Last Revised:
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